数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 150
150｜成分表示の空間ベクトルの垂直条件
150
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~-1~,~0)\) の両方に垂直で、大きさが \(\sqrt{\,6\,}\) のベクトルは、
\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ}~,~\fbox{エ})\) と \((\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~-1~,~0)\) の両方に垂直で、大きさが \(\sqrt{\,6\,}\) のベクトルは、
\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ}~,~\fbox{エ})\) と \((\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
150 数学ⅡBC【解答】
\((1~,~-2~,~1)\) と \((-1~,~2~,~-1)\)
【より詳しい解説】
求めるベクトルを \(\overrightarrow{c}=(x~,~y~,~z)\) とおくと、
\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}\) より、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot x+2 \cdot y+3 \cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x+2y+3z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}\) より、内積 \(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 \cdot x+(-1) \cdot y+0 \cdot z&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y&=&0
\\[3pt]~~~2x+y&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{c}\) の大きさが \(\sqrt{\,6\,}\) より、\(|\,\overrightarrow{c}\,|=\sqrt{\,6\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,x^2+y^2+z^2\,}&=&\sqrt{\,6\,}
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(y=-2x~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)
これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2 \cdot (-2x)+3z&=&0
\\[3pt]~~~x-4x+3z&=&0
\\[3pt]~~~-3x+3z&=&0
\\[3pt]~~~3z&=&3x
\\[3pt]~~~z&=&x~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-2x)^2+x^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2+4x^2+x^2&=&6
\\[3pt]~~~6x^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\({\small [\,4\,]}\) より、\(y=-2 \cdot 1=-2\)
\({\small [\,5\,]}\) より、\(z=1\)
\(x=-1\) のとき、
\({\small [\,4\,]}\) より、\(y=-2 \cdot (-1)=2\)
\({\small [\,5\,]}\) より、\(z=-1\)
したがって、
\(\overrightarrow{c}=(1~,~-2~,~1)\) と \((-1~,~2~,~-1)\) となる
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