数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 152
152｜直線と平面の交点のベクトル
152
四面体 \({\rm OABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm OC}\) の中点を \({\rm E}\)、線分 \({\rm DE}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm F}\)、直線 \({\rm OF}\) と \(\triangle{\rm ABC}\) の交点を \({\rm P}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm OF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\overrightarrow{\rm OC}\)
これより、\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\,\overrightarrow{\rm OF}\) となり、
\({\rm OF:FP}=\fbox{コ}:\fbox{サ}\) である。
四面体 \({\rm OABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm OC}\) の中点を \({\rm E}\)、線分 \({\rm DE}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm F}\)、直線 \({\rm OF}\) と \(\triangle{\rm ABC}\) の交点を \({\rm P}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm OF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\overrightarrow{\rm OC}\)
これより、\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\,\overrightarrow{\rm OF}\) となり、
\({\rm OF:FP}=\fbox{コ}:\fbox{サ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
152 数学ⅡBC【解答】
\(\overrightarrow{\rm OF}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm OC}\)
\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm OF}\)
\({\rm OF:FP}=2:1\)
【より詳しい解説】
\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a} ~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} ~,~ \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\overrightarrow{\rm OD}\) は、\({\rm AD:DB}=3:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{\rm OA}+3\overrightarrow{\rm OB}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OE}\) は \({\rm OE:EC}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OF}\) は、\({\rm DF:FE}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OF}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\overrightarrow{\rm OD}+2\cdot\overrightarrow{\rm OE}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OD}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OE}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\right)+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
ここで、点 \({\rm P}\) は直線 \({\rm OF}\) 上にあるので、
\(\overrightarrow{\rm OP}=k\cdot\overrightarrow{\rm OF}\) となる実数 \(k\) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&k\,\left(\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k\,\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k\,\overrightarrow{\rm OC}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は平面 \({\rm ABC}\) 上にあり、
4点 \({\rm O~,~A~,~B~,~C}\) は同一平面上にないので、係数の和が \(1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k&=&1
\\[5pt]~~~2k+3k+5k&=&15 \hspace{20pt}(\,両辺 {\, \small \times \,}15\,)
\\[5pt]~~~10k&=&15
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OF}\) となるので、
図より、\({\rm OF:FP}=2:1\) となる
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