数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 154
154｜球面の方程式
154
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)座標空間で中心が \((2~,~-1~,~3)\)、半径が \(\sqrt{\,10\,}\) の球面の方程式は、
\({\small (2)}~\)直径の両端が \({\rm A}(2~,~-1~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-5~,~-1)\) である球面は、
中心が \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)、半径が \(\fbox{コ}\) の球面である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)座標空間で中心が \((2~,~-1~,~3)\)、半径が \(\sqrt{\,10\,}\) の球面の方程式は、
\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2+(z-\fbox{ウ})^2=\fbox{エオ}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)直径の両端が \({\rm A}(2~,~-1~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-5~,~-1)\) である球面は、
中心が \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)、半径が \(\fbox{コ}\) の球面である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
154 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10\)
\({\small (2)}~\)中心 \((3~,~-3~,~1)\)、半径 \(3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)中心 \((2~,~-1~,~3)\)、半径 \(\sqrt{\,10\,}\) より、
\(x\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,2+4\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}=3\)
\(y\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,-1-5\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,-6\,}{\,2\,}=-3\)
\(z\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
よって、中心の座標が \((3~,~-3~,~1)\) となる
球面の方程式は、
\({\small (1)}~\)\((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10\)
\({\small (2)}~\)中心 \((3~,~-3~,~1)\)、半径 \(3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)中心 \((2~,~-1~,~3)\)、半径 \(\sqrt{\,10\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+\left\{\,y-(-1)\,\right\}^2+(z-3)^2&=&\left(\sqrt{\,10\,}\right)^2
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2&=&10\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2&=&10\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)2点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の中点が球面の中心となるので、
\(x\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,2+4\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}=3\)
\(y\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,-1-5\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,-6\,}{\,2\,}=-3\)
\(z\) 座標が、\(\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\)
よって、中心の座標が \((3~,~-3~,~1)\) となる
また、この中心と点 \({\rm A}(2~,~-1~,~3)\) との距離が半径 \(r\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(3-2)^2+\left\{\,(-3)-(-1)\,\right\}^2+(1-3)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+(-2)^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、中心が \((3~,~-3~,~1)\)、半径が \(3\) の球面となり、
球面の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+\left\{\,y-(-3)\,\right\}^2+(z-1)^2&=&3^2
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y+3)^2+(z-1)^2&=&9\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y+3)^2+(z-1)^2&=&9\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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