数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 142
142｜係数の和が一定の値の点の存在範囲
142
平面上の3点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が次の条件を満たしている。
\(|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=2~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=1\)
また、点 \({\rm P}\) は実数 \(s~,~t\) を用いて \(\overrightarrow{\rm OP}=s\,\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OB}\) と表される点である。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) のなす角は \(\theta=\fbox{アイ}^{\circ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が描く線分の長さは \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が存在する範囲の面積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) である。
平面上の3点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が次の条件を満たしている。
\(|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=2~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=1\)
また、点 \({\rm P}\) は実数 \(s~,~t\) を用いて \(\overrightarrow{\rm OP}=s\,\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OB}\) と表される点である。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) のなす角は \(\theta=\fbox{アイ}^{\circ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が描く線分の長さは \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が存在する範囲の面積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
142 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\theta=60^{\circ}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)内積の定義の式 \(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|\cos\theta\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~2\cos\theta&=&1
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(0^{\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^{\circ}\) より、\(\theta=60^{\circ}\) となる
\({\small (2)}~\)\(s+t=1\) のとき、点 \({\rm P}\) は直線 \({\rm AB}\) 上にあり、さらに \(s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) であるので、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AB}\) 上を動く
※ \(s=1~,~t=0\) のとき点 \({\rm A}\)、\(s=0~,~t=1\) のとき点 \({\rm B}\) となる。
これより、求める線分の長さは \({\rm AB}\) の長さであるので、
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|^2&=&|\,\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-2\,\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}+|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&2^2-2{\, \small \times \,}1+1^2
\\[3pt]~~~&=&4-2+1
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-2\,\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}+|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&2^2-2{\, \small \times \,}1+1^2
\\[3pt]~~~&=&4-2+1
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|{\small ~≧~}0\) より、点 \({\rm P}\) が描く線分の長さは \(\sqrt{\,3\,}\) となる
\({\small (3)}~\)\(s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) は \(\triangle{\rm OAB}\) の周および内部を動く
※ \(s+t=k\)（\(0{\small ~≦~}k{\small ~≦~}1\)）とおくと、点 \({\rm P}\) は \({\rm OA}~,~{\rm OB}\) を \(k\) 倍した点を結ぶ線分上を動き、\(k\) が \(0\) から \(1\) まで変化すると三角形全体をおおう。
これより、求める面積は \(\triangle{\rm OAB}\) の面積であるので、
\(\theta=60^{\circ}\) より \(\sin\theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}{\rm OB}{\, \small \times \,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm P}\) が存在する範囲の面積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となる
平面上のベクトル｜問題一覧はこちら→
