共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

130 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}+8\,\overrightarrow{b}\)

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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{x}=3\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)分配法則で展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&3(\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b})-2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&3\cdot\overrightarrow{a}+3\cdot2\,\overrightarrow{b}-2\cdot\overrightarrow{a}-2\cdot(-\overrightarrow{b})
\end{eqnarray}\)

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順番を整理して、同類項をまとめると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&3\,\overrightarrow{a}+6\,\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&3\,\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{a}+6\,\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&(3-2)\overrightarrow{a}+(6+2)\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+8\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{x}\) を左辺に、残りのベクトルを右辺に移すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\,\overrightarrow{x}+6\,\overrightarrow{a}&=&4\,\overrightarrow{x}+2\,\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~2\,\overrightarrow{x}-4\,\overrightarrow{x}&=&-6\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~(2-4)\overrightarrow{x}&=&-6\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{x}&=&-6\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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両辺を \(-2\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{18pt}~~~\displaystyle \frac{\,-2\,\overrightarrow{x}\,}{\,-2\,}&=&\displaystyle \frac{\,-6\,\overrightarrow{a}\,}{\,-2\,}+\displaystyle \frac{\,2\,\overrightarrow{b}\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}&=&3\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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したがって、
　\(\overrightarrow{x}=3\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)