共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

131 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AD}=2\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}\)

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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AC}=2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

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\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とすると、

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\(\overrightarrow{\rm AO}\) は、\(\overrightarrow{\rm BO}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AO}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BO}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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これより、\(\overrightarrow{\rm AD}\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&2\,\overrightarrow{\rm AO}
\\[3pt]~~~&=&2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&2\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)

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\(\overrightarrow{\rm AC}\) は、\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AO}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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※ \(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BO}+\overrightarrow{\rm OC}\) でもよい。

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\({\small (3)}~\)

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\(\overrightarrow{\rm BD}\) は、\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BD}&=&\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AO}+\overrightarrow{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

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※ \(\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{\rm BO}+\overrightarrow{\rm OC}+\overrightarrow{\rm CD}\) でもよい。