共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

136 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(3\sqrt{\,3\,}~,~\)\(0~,~\)\(-3\sqrt{\,2\,}~,~\)\(-6\)

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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=5~,~\)\(\theta=45^{\circ}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) とそれぞれの角を代入する

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\(\theta=30^{\circ}\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos30^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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\(\theta=90^{\circ}\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos90^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}0
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)

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※ 垂直な2つのベクトルの内積は \(0\) となる。

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\(\theta=135^{\circ}\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos135^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3\sqrt{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

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\(\theta=180^{\circ}\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos180^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}(-1)
\\[5pt]~~~&=&-6
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、

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内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}3+2{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&3+2
\\[3pt]~~~&=&5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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また、それぞれのベクトルの大きさは、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,10\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、

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\({\small [\,1\,]}\)〜\({\small [\,3\,]}\) の値を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~5&=&\sqrt{\,5\,}\cdot\sqrt{\,10\,}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~5&=&5\sqrt{\,2\,}\cos\theta
\\[3pt]~~~5\sqrt{\,2\,}\cos\theta&=&5
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\end{eqnarray}\)

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\(0^{\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^{\circ}\) より、\(\theta=45^{\circ}\) となる