数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 138
138｜内積とベクトルの和の大きさ
138
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウエ}\) であり、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると \(\theta=\fbox{オカキ}^{\circ}\) である。
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウエ}\) であり、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると \(\theta=\fbox{オカキ}^{\circ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
138 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,21\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~\theta=120^{\circ}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、同じベクトルの内積となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで \(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2^{2}+2{\, \small \times \,}4+3^{2}
\\[3pt]~~~&=&4+8+9
\\[3pt]~~~&=&21
\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|{\small ~≧~}0\) より、両辺の平方根をとると、
\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,21\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{\,19\,}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&19
\\[3pt]~~~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&19
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&19-13
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&6
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-3
\end{eqnarray}\)
次に、\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) より、内積の定義の式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[3pt]~~~-3&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~6\cos\theta&=&-3
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0^{\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^{\circ}\) より \(\theta=120^{\circ}\) となる
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