数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 132
132｜ベクトルの成分を用いた計算と大きさ
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\fbox{エ}~,~\fbox{オカ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}=(\fbox{キク}~,~\fbox{ケコ})\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{p}=(6~,~2)\) を \(s\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) の形で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{p}=\fbox{サ}\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,\fbox{シ}\,}\)\(~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\fbox{ス}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソタ}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
132 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)\)\(~,~\)\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\)
\(\hspace{13pt}\)\(2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}=(11~,~-8)\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{p}=3\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,5\,}\)\(~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=5\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=2\sqrt{\,10\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}1-3\\[2pt]2+4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}1+3\\[2pt]2-4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}&=&2\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-3\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}9\\[2pt]-12\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2+9\\[2pt]4-12\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}11\\[2pt]-8\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}=(11~,~-8)\) となる
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、
\(\overrightarrow{p}=s\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]2\end{array}\,\right)
&=&s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}s\\[2pt]2s\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-3t\\[2pt]4t\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}s-3t\\[2pt]2s+4t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいことより、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
6=s-3t\\[2pt]
2=2s+4t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
下の式の両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
s-3t=6 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\[2pt]
s+2t=1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
s-3t&=&6 \\~~
-\big{)}~~~s+2t&=&1\\
\hline -5t&=&5
\\[3pt] t&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s-3{\, \small \times \,}(-1)&=&6
\\[3pt]~~~s+3&=&6
\\[3pt]~~~s&=&3
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{p}=3\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) となる
\({\small (3)}~\)ベクトルの大きさは、\(x\) 成分と \(y\) 成分をそれぞれ2乗して足したものの平方根より、
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-3)^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+16\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
また、\({\small (1)}\) より \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,(-2)^2+6^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+36\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,40\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4{\, \small \times \,}10\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,10\,}
\end{eqnarray}\)
※ \(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|\) は \(|\,\overrightarrow{a}\,|+|\,\overrightarrow{b}\,|\) とはならないことに注意！
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