共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

141 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\({\rm BD}:{\rm DC}=3:2~,~\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}\)

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\({\small (2)}~\)\({\rm AI}:{\rm ID}=2:1~,~\)\(\overrightarrow{\rm AI}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)内心 \({\rm I}\) は3つの内角の二等分線の交点であるので、

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直線 \({\rm AD}\) は \(\angle {\rm A}\) の二等分線であるので、内角の二等分線と辺の比の関係より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}:{\rm DC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}
\\[3pt]~~~&=&6:4
\\[3pt]~~~&=&3:2
\end{eqnarray}\)

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これより、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分する点であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&\displaystyle \frac{\,2\,\overrightarrow{\rm AB}+3\,\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分するので、\({\rm BD}\) の長さは、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5
\\[5pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)

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次に、\(\triangle{\rm ABD}\) において、\({\rm BI}\) は \(\angle {\rm B}\) の二等分線であるので、内角の二等分線と辺の比の関係より、

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\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AI}:{\rm ID}&=&{\rm AB}:{\rm BD}
\\[3pt]~~~&=&6:3
\\[3pt]~~~&=&2:1
\end{eqnarray}\)

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これより、点 \({\rm I}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(2:1\) に内分する点であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AI}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+1\,}\,\overrightarrow{\rm AD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{\rm AI}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{c}\) となる