数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 135
135｜ベクトルの成分と大きさの最小値
135
\(t\) を実数とし、\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) で、最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) をとる。
\(t\) を実数とし、\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) で、最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
135 数学IIBC【解答】
\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で、最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+3t\\[2pt]2+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2&=&(1+3t)^2+(2+t)^2
\\[3pt]~~~&=&1+6t+9t^2+4+4t+t^2
\\[3pt]~~~&=&10t^2+10t+5
\\[3pt]~~~&=&10\left(t^2+t\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+10\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1+6t+9t^2+4+4t+t^2
\\[3pt]~~~&=&10t^2+10t+5
\\[3pt]~~~&=&10\left(t^2+t\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+10\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+5
\\[5pt]~~~&=&10\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2\) は、
\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
したがって、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は、
\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\)
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