数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 140
140｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点と重心
140
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) とするとき、線分 \({\rm AB}\) を
\(2:3\) に内分する点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(2:3\) に外分する点の位置ベクトルは、
\(\fbox{オ}\,\overrightarrow{a}-\fbox{カ}\,\overrightarrow{b}\)
中点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm D}\)、線分 \({\rm AD}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm E}\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) について、
重心の位置ベクトルは \(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\) 。
また、\(\overrightarrow{\rm AG}=\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) とするとき、線分 \({\rm AB}\) を
\(2:3\) に内分する点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(2:3\) に外分する点の位置ベクトルは、
\(\fbox{オ}\,\overrightarrow{a}-\fbox{カ}\,\overrightarrow{b}\)
中点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm D}\)、線分 \({\rm AD}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm E}\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) について、
重心の位置ベクトルは \(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\) 。
また、\(\overrightarrow{\rm AG}=\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
140 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)内分点 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(\hspace{13pt}\)外分点 \(3\,\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}\)
\(\hspace{13pt}\)中点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{\rm AG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を、
\(2:3\) に内分する点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,3\,\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b}\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\(2:3\) に外分する点 \({\rm Q}(\overrightarrow{q})\) は、
以下の図はありえない図となっているが、計算する上では、内分点と同じように考えて、比のどちらか一方にマイナスを付ける。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,3\,\overrightarrow{a}+(-2)\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,(-2)+3\,}
\\[5pt]~~~&=&3\,\overrightarrow{a}-2\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
中点 \({\rm M}(\overrightarrow{m})\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
点 \({\rm D}\) は \({\rm BC}\) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
次に、\({\rm AE}:{\rm ED}=2:3\) より \({\rm AE}:{\rm AD}=2:5\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\) となる
\({\small (3)}~\)
重心 \({\rm G}\) は3本の中線の交点であり、中線を頂点の側から \(2:1\) に内分する点である
辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}(\overrightarrow{m})\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm G}\) は線分 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\overrightarrow{a}+2\cdot\overrightarrow{m}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、\(\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{a}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}-\overrightarrow{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\,\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\) の形になるように分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AG}&=&\displaystyle \frac{\,(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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