数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 143
143｜三角形内部の点の位置ベクトル
143
\(\triangle{\rm OAB}\) において、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。辺 \({\rm OA}\) の中点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、2直線 \({\rm AD}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(\triangle{\rm OAB}\) において、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。辺 \({\rm OA}\) の中点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、2直線 \({\rm AD}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
143 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=3:2\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)点 \({\rm C}\) は辺 \({\rm OA}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{a}
\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+2\,}\,\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=s:1-s\) とおくと、
\(\triangle{\rm OAD}\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、\({\rm BP}:{\rm PC}=t:1-t\) とおくと、
\(\triangle{\rm OCB}\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{a}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないので、係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より \(t=2-2s\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-(2-2s)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&-1+2s
\\[5pt]~~~s&=&-3+6s
\\[5pt]~~~-5s&=&-3
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm PD}&=&s:1-s
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}:\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&3:2
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(s=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\cdot\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ \({\small [\,3\,]}\) から \(t=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) を求めて、\({\small [\,2\,]}\) に代入してもよい。
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