数学C｜平面上のベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 139
139｜平面ベクトルの大きさと最小値
139
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) で、最小値 \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) をとる。
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) で、最小値 \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
139 数学IIBC【解答】
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) で、最小値 \(\sqrt{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&\left(\sqrt{\,19\,}\right)^{2}
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&19
\\[3pt]~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&19
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&19
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+3^{2}&=&19
\\[3pt]~~~4-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9&=&19
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&19-13
\\[3pt]~~~-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&6
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&-3
\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2&=&(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{a}\,|^2+2t\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\,\overrightarrow{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3\) を代入して、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2}&=&2^2+2t\cdot(-3)+t^2\cdot 3^2
\\[3pt]~~~&=&4-6t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+9\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2-1+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4-6t+9t^2
\\[3pt]~~~&=&9t^2-6t+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\,\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+9\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\right)+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2-1+4
\\[5pt]~~~&=&9\left(\,t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right)^2+3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|^2\) は \(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、最小値 \(3\) をとるので、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は、\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、最小値 \(\sqrt{\,3\,}\) をとる
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