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数研出版:改訂版高等学校数学Ⅱ

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第1章 式と証明
第2章 複素数と方程式
第4章 三角関数
第5章 指数関数と対数関数
第6章 微分法と積分法

 



第3章 図形と方程式

第1節 点と直線

問題 解答
p.62
練習1
\({\small (1)}~7\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~3\)
p.63
練習2
\({\small (1)}~1:2\) に内分
\({\small (2)}~3:2\) に外分
\({\small (3)}~1:3\) に外分
p.64
練習3
\({\small (1)}~{\rm C}\left({\large \frac{32}{5}}\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(10)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
直線上の線分の長さ・内分点・外分点
p.65
練習4
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\sqrt{13}\)
p.66
練習5
\((0,3)\)
平面上の線分の長さ
p.66
練習6
[証明] 座標平面上に4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
 \({\rm A}(a,b)\) \({\rm B}(-c,0)\)
 \({\rm C}(2c,0)\) \({\rm D}(0,0)\)
このとき、
 \({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
 \({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
  \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
 \(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
 \({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
 \({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
  \({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
 \(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
 \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
座標を利用した等式の証明
p.68
練習7
\({\small (1)}~{\rm C}\left({\large \frac{5}{3}},4\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(11,8)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-17,-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}\left({\large \frac{1}{2}},{\large \frac{7}{2}}\right)\)
平面上の内分点・外分点・重心
p.68
練習8
\((-6,8)\)
点に対して対称な点
p.69
練習9
\(\left({\large \frac{x_1+x_2+x_3}{3}},{\large \frac{y_1+y_2+y_3}{3}}\right)\)
p.69
練習10
\({\small (1)}~\left(3,{\large \frac{7}{3}}\right)\) \({\small (2)}~\left(0,{\large \frac{2}{3}}\right)\)
平面上の内分点・外分点・重心
p.70
練習11
p.71
練習12
\({\small (1)}~y=3x-10\)
\({\small (2)}~y=-2x-5\)
直線の方程式
p.72
練習13
\({\small (1)}~y=2x-4\)
\({\small (2)}~y=-2x+2\)
\({\small (3)}~y=-1\)
\({\small (4)}~x=3\)
2点を通る直線の方程式
p.72
練習14
[証明] 2点 \((a,0)~,~(0,b)\) を通る直線であるので、
 \(y-0={\large \frac{b-0}{0-a}}(x-a)\)
これより、
 \(y=-{\large \frac{b}{a}}x+b\)
移項すると、
 \({\large \frac{bx}{a}}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
 \({\large \frac{x}{a}}+{\large \frac{y}{b}}=1\) [終]
p.73
練習15
②、③
p.74
練習16
\({\small (1)}~\)平行 \({\small (2)}~\)垂直
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直
p.74
練習17
垂直 \(2x-3y-9=0\)
平行 \(3x+2y-7=0\)
平行な直線と垂直な直線
p.75
練習18
\((-2,3)\)
直線に対して対称な点
p.76
練習19
\({\small (1)}~\sqrt{5}\) \({\small (2)}~{\large \frac{4\sqrt{13}}{13}}\)
p.77
練習20
\({\small (1)}~{\large \frac{6}{5}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (3)}~\sqrt{10}\)
点と直線との距離
p.78
研究1
\(2x-3y+7=0\)
2直線の交点を通る直線
問題
p.79
1
[証明]
2点間の距離の公式より、
 \({\rm OA}^2=6^2+2^2=40\)
 \({\rm OB}^2=2^2+4^2=20\)
 \({\rm AB}^2=(2-6)^2+(4-2)^2=20\)
これらより、
 \({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
 \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]
p.79
2
\({\small (1)}~\left({\large \frac{3}{2}},{\large \frac{7}{2}}\right)\) \({\small (2)}~(-1,4)\)
p.79
3
\(x=-4~,~y=7\)
p.79
4
\(x+2y-4=0\)
p.79
5
\({\small (1)}~2x+3y-8=0\)
\({\small (2)}~3x-2y+1=0\)
p.79
6
[証明]
それぞれの直線の傾きは、
 \(-{\large \frac{a}{b}}~,~-{\large \frac{a’}{b’}}\)
これより、2直線が平行となるので、
 \(-{\large \frac{a}{b}}=-{\large \frac{a’}{b’}}\)
式変形すると、
 \(ab’-a’b=0\)
したがって、
2直線が平行\(~~\Leftrightarrow~~ab’-a’b=0\)
また、2直線が垂直となるので、
 \(\left(-{\large \frac{a}{b}}\right)\left(-{\large \frac{a’}{b’}}\right)=-1\)
式変形すると、
 \(aa’+bb’=0\)
したがって、
2直線が垂直\(~~\Leftrightarrow~~aa’+bb’=0\)
[終]
p.79
7
直線 \({\rm AB}\) の傾きは、\(a\neq b\) より
 \({\large \frac{a-b}{b-a}}=-1\)
また、直線 \(y=x\) の傾きは \(1\)
よって、2直線の傾きの積が \(-1\) となり、2直線は垂直に交わる
また、線分 \({\rm AB}\) の中点は、
 \(\left({\large \frac{a+b}{2}},{\large \frac{b+a}{2}}\right)\)
これを \(y=x\) に代入すると、
 \({\large \frac{b+a}{2}}={\large \frac{a+b}{2}}\)
これより、線分 \({\rm AB}\) の中点は直線 \(y=x\) 上にある
したがって、
2点 \({\rm A~,~B}\) は直線 \(y=x\) に関して対称である [終]
p.79
8
ア:\(3\) イ:\(1\) ウ:\(0\) エ:\(2\) オ:\(1\)
カ:\(0\) キ:\(1\) ク:\(0\)



第2節 円

問題 解答
p.80
練習21
\({\small (1)}~x^2+y^2=4\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)
円の方程式
p.80
練習22
中心 \((3,-2)\)、半径 \(2\sqrt{2}\)
p.81
練習23
中心 \((-1,4)\)、半径 \(2\sqrt{2}\)
\((x+1)^2+(y-4)^2=8\)
p.81
練習24
\({\small (1)}~\)中心 \((-2,1)\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \((-3,-4)\)、半径 \(4\)
円の方程式
p.82
練習25
\({\small (1)}~x^2+y^2-3x+5y-4=0\)
\({\small (2)}~x^2+y^2-2x+4y-20=0\)
円の方程式の決定①(点の条件)
p.83
練習26
\({\small (1)}~(3,4)~,~(-4,-3)\)
\({\small (2)}~(2,2)\)
円と直線との共有点
p.84
練習27
\({\small (1)}~-5≦m≦5\)
\({\small (2)}~\)
\(m=5\) のとき \((-2,1)\)
\(m=-5\) のとき \((2,-1)\)
円と直線との位置関係
p.85
練習28
\(\sqrt{5}\)
円と直線との位置関係
p.87
練習29
\({\small (1)}~3x+y-10=0\)
\({\small (2)}~2x-3y-13=0\)
\({\small (3)}~x=4\)
\({\small (4)}~y=-\sqrt{5}\)
p.87
練習30
\(y=1~,~(0,1)\)
\(4x-3y-5=0~,~\left({\large \frac{4}{5}},-{\large \frac{3}{5}}\right)\)
円の接線の方程式
p.89
練習31
\({\small (1)}~r=8\) \({\small (2)}~r>8\)
p.89
練習32
\((x+3)^2+(y-4)^2=36\)
2つの円の位置関係
p.90
練習33
\((1,3)~,~(3,-1)\)
2つの円の共有点の座標
p.91
研究1
\((x-1)^2+\left(y+{\large \frac{1}{2}}\right)^2={\large \frac{25}{4}}\)
2つの円の交点を通る円・直線
問題
p.92
9
\({\small (1)}~\)中心 \(\left(-{\large \frac{1}{2}},{\large \frac{3}{2}}\right)\)、半径 \({\large \frac{\sqrt{10}}{2}}\)
\({\small (2)}~\)\(\left(x+{\large \frac{1}{2}}\right)^2+\left(y-{\large \frac{3}{2}}\right)^2={\large \frac{13}{2}}\)
p.92
10
半径 \(\sqrt{5}\)、座標 \((-1,3)\)
p.92
11
\(4\sqrt{2}\)
円によって切り取られる線分
p.92
12
\({\small (1)}~-5\sqrt{2}<c<5\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~x^2+y^2-x-3y=0\)
p.92
13
\({\small (1)}~(1,3)~,~(3,-1)\)
\({\small (2)}~2x+y-5=0\)
p.92
14
\(0<r<2\)
p.92
15
ア:\(2\) イ:\(8\) ウ:\(1\) エ:\(4\) オ:\(5\)
カ:\(2\) キ:\(2\) ク:\(5\)



第3節 軌跡と領域

問題 解答
p.93
練習34
直線 \(x=2\)
p.94
練習35
中心 \((6,0)\)、半径 \(6\) の円
軌跡①
p.95
練習36
直線 \(y=x+3\)
軌跡①
p.97
練習37
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
\({\small (4)}~\)

境界線を含む
p.98
練習38
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含む
\({\small (4)}~\)

境界線を含まない
不等式の表す領域
p.100
練習39
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
\({\small (4)}~\)

境界線を含む
連立不等式の表す領域①
p.100
練習40
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
連立不等式の表す領域②(積の形)
p.101
練習41
\({\small (1)}~\)
\(x=2~,~y=1\) で最大値 \(3\)
\(x=0~,~y=0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x={\large \frac{8}{3}}~,~y=0\) で最大値 \({\large \frac{8}{3}}\)
\(x=0~,~y={\large \frac{5}{3}}\) で最小値 \(-{\large \frac{5}{3}}\)
線形計画法
p.102
練習42
[証明] \(x^2+y^2≦1\) の領域を \(P\)、\(x+y≦\sqrt{2}\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2≦1\) ならば \(x+y≦\sqrt{2}\)
[終]
領域を用いた証明
p.103
研究1
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
問題
p.104
16
原点中心、半径 \(2\) の円
p.104
17
\({\rm A~,~C}\)
p.104
18
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
p.104
19

境界線を含む
p.104
20
\(x={\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~y={\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) のとき最大値 \(\sqrt{2}\)
\(x=-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}~,~y=-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) のとき最小値 \(-\sqrt{2}\)
p.104
21
ア:\(3\) イ:\(3\) ウ:\(6\) エ:\(1\) オ:\(3\)
カ:\(1\) キ:\(2\) ク:\(8\)



章末問題 図形と方程式

問題 解答
章末問題A
p.105
1
\((0,-1)~,~(-2,3)~,~(4,1)\)
p.105
2
平行 \(a=3~,~-2\)
垂直 \(a={\large \frac{3}{5}}\)
p.105
3
\(k={\large \frac{1}{3}}\)
p.105
4
\({\small (1)}~{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(\triangle {\rm OAB}\) の底辺を \({\rm OA}\) とすると、
 \({\rm OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)
また、高さは点 \({\rm B}\) と直線 \({\rm OA}\) との距離となる
(1) の解を用いると、
  \(\triangle {\rm OAB}\)
 \(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot d\)
 \(={\large \frac{1}{2}}\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
 \(={\large \frac{1}{2}}|x_1y_2-x_2y_1|\)
[終]
p.105
5
\(7\sqrt{2}\)
p.105
6
\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)
p.105
7
\({\small (1)}~(4-a,2-b)\)
\({\small (2)}~2x+y-11=0\)
p.105
8
\({\small (1)}~y≦{\large \frac{5}{3}}x+{\large \frac{2}{3}}\)
\(y≦-x+6~,~y≧{\large \frac{1}{3}}x-{\large \frac{2}{3}}\)
\({\small (2)}~\)
\(x^2+y^2≦4~,~y≧-x+1\)
章末問題B
p.106
9
\(a=2~,~-3\)
p.106
10
\({\large \frac{9}{5}}\)
p.106
11
\({\small (1)}~a=-2\)
\({\small (2)}~(2,1)\)
\({\small (3)}~-2\)
\({\small (4)}~y=-2x+10\)
p.106
12
\(7\) 個
p.106
13
A \(2\) トン、B \(3\) トン

 



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