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数研出版:改訂版高等学校数学Ⅱ

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第1章 式と証明
第2章 複素数と方程式
第3章 図形と方程式
第4章 三角関数
第5章 指数関数と対数関数

 



第6章 微分法と積分法

第1節 微分係数と導関数

問題 解答
p.176
練習1
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~-4-h\)
平均変化率
p.177
練習2
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~6\) \({\small (3)}~12\)
極限値
p.178
練習3
\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~-12\) \({\small (3)}~6a\)
微分係数
p.179
練習4
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~-4\)
p.181
練習5
\({\small (1)}~\)$$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)-3x}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}$$$$~=3$$
\({\small (2)}~\) $$~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-(x+h)^2-(-x^2)}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}(-2x-h)$$$$~=-2x$$→ 導関数
p.181
練習6
\({\small (1)}~y’=4x^3\)
\({\small (2)}~y’=5x^4\)
p.183
練習7
\({\small (1)}~y’=8x+3\)
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=12x^2-4x-5\)
\({\small (4)}~y’=-4x^3-1\)
\({\small (5)}~y’=2x^2+{\large \frac{3}{2}}x-{\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (6)}~y’=-{\large \frac{3}{2}}x^2+3x\)
p.183
練習8
\({\small (1)}~y’=2x+5\)
\({\small (2)}~y’=3x^2-4\)
\({\small (3)}~y’=-6x^2+8x+6\)
\({\small (4)}~y’=12x^3-24x\)
微分の計算
p.184
練習9
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~24\)
p.184
練習10
\(f(x)=2x^2-3x+2\)
2次関数の決定(微分係数の利用)
p.185
練習11
\({\small (1)}~s’=6t-4\)
\({\small (2)}~f'(t)=3at^2+2bt\)
p.185
練習12
\({\large \frac{dV}{dr}}=4\pi r^2~,~{\large \frac{dS}{dr}}=8\pi r\)
p.186
練習13
\(y=4x-5\)
接線の方程式①
p.187
練習14
\({\small (1)}~y=4x-3~,~y=-8x-15\)
\({\small (2)}~y=2x~,~y=-6x\)
接線の方程式②(外部の点から引いた接線)
問題
p.188
1
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~3\)
p.188
2
\({\small (1)}~y’=1+2x+3x^2+4x^3\)
\({\small (2)}~y’=4x+1\)
\({\small (3)}~y’=3x^2\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-4x+1\)
p.188
3
\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
 \(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、
 \(y’=3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\)
 \(~~=3a(a^2x^2+2abx+b^2)\)
 \(~~=3a(ax+b)^2\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]
p.188
4
\(f(x)=x^2-4x+8\)
p.188
5
\(y=4x-9\)
p.188
6
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(2\) エ:\(3\) オ:\(2\)
カ:\(0\) キ:\(3\) ク:\(2\) ケ:\(2\) コ:\(7\)
サ:\(1\) シ:\(9\)



第2節 関数の値の変化

問題 解答
p.191
練習15
\({\small (1)}~\)
\(x≦0\) で増加
\(0≦x≦4\) で減少
\(4≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
\(x≦-1\) で減少
\(-1≦x≦0\) で増加
\(0≦x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少
\({\small (4)}~\)常に増加
p.192
練習16
\({\small (1)}~\)

\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)

\(x=2\) で極大値 \(5\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
3次関数のグラフと増減表
p.193
練習17
\({\small (1)}~\)

\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)

\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=\pm2\) で極小値 \(-14\)
\({\small (3)}~\)

\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
\(x=2\) で極大値 \(0\)
\({\small (4)}~\)

\(x=3\) で極小値 \(-15\)
4次関数のグラフと増減表
p.194
練習18
\(a=-3~,~b=3\)、極小値 \(-24\)
極値の条件と関数の決定
p.195
練習19
\({\small (1)}~\)
\(x=2\) で最大値 \(20\)
\(x=-3~,~0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=1\) で最大値 \(1\)
\(x=2\) で最小値 \(-2\)
\({\small (3)}~\)
\(x=-1\) で最大値 \(6\)
\(x={\large \frac{3}{2}}\) で最小値 \({\large \frac{21}{16}}\)
3次関数の最大値・最小値
p.196
練習20
\(2\) ㎝
p.197
練習21
\({\small (1)}~\)3個 \({\small (2)}~\)1個
\({\small (3)}~\)2個 \({\small (4)}~\)4個
3次方程式の解の個数①
p.198
練習22
\(a<-1~,~0<a\)
3次方程式の解の個数②(定数分離法)
p.198
練習23
[証明]
\(f(x)=(x^3+3x^2+5)-9x\) とすると、
 \(f'(x)=3x^2+6x-9\)
    \(=3(x+3)(x-1)\)
よって、\(x≧0\) での増減表は

\(x\) \(0\) \(\cdots\) \(1\) \(\cdots\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) \(5\) ↘︎ \(0\) ↗︎

よって、\(x≧0\) で最小値が \(0\) であるので、
 \(f(x)≧0\)
したがって、\(x≧0\) のとき
 \(x^3+3x^2+5≧9x\)
また、等号が成り立つときは \(x=1\) のとき [終]
3次不等式の証明

問題
p.200
7
\({\small (1)}~\)
\(x=-\sqrt{2}\) で極大値 \(2+4\sqrt{2}\)
\(x=\sqrt{2}\) で極小値 \(2-4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~\)
\(x=-{\large \frac{3}{2}}\) で極小値 \(-{\large \frac{11}{16}}\)
p.200
8
\(a=3~,~b=-9~,~c=-7\)
p.200
9
\({\small (1)}~\)
\(V=\pi x^2(18-2x)~~~(0<x<9)\)
\({\small (2)}~6\) ㎝
p.200
10
\(0<a<32\)
p.200
11
ア:\(3\) イ:\(2\) ウ:\(3\) エ:\(4\) オ:\(9\)



第3節 積分法

問題 解答
p.201
練習24
②、④
p.201
練習25
[証明]
\(n\) が \(0\) または正の整数のとき、
 \(F(x)={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}\)
とすると、
 \(F'(x)=(n+1)\cdot{\large \frac{1}{n+1}}x^{n}=x^n\)
よって、\(x^n\) の不定積分の1つは \(F(x)\) である
したがって、
 \(\int x^n dx={\large \frac{1}{n+1}}x^{n+1}+C\)
[終]
また、\(C\) を積分定数として
 \(\int x^3 dx={\large \frac{1}{4}}x^4+C\)
p.203
練習26
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~{\large \frac{5}{3}}x^3+C\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{3}}x^3+{\large \frac{1}{2}}x^2-x+C\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{4}}x^4-2x^3-x^2+5x+C\)
\({\small (4)}~-{\large \frac{2}{3}}x^3-{\large \frac{1}{2}}x^2+7x+C\)
p.204
練習27
\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~t^3+{\large \frac{5}{2}}t^2-2t+C\)
\({\small (2)}~t^3-3t^2+3t+C\)
不定積分
p.204
練習28
\(F(x)=x^3-4x+2\)
不定積分と関数の決定
p.206
練習29
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{15}{4}}\) \({\small (4)}~-6\)
p.206
練習30
\({\small (1)}~{\large \frac{2}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{1}{6}}\)
\({\small (3)}~-{\large \frac{3}{4}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{64}{3}}\)
定積分の計算
p.207
練習31
\(12\)
p.208
練習32
\(0\)
p.208
練習33
\({\small [1]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、
  \(\int_{a}^{a}f(x)dx\)
 \(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
 \(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
 \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [2]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、
  \(\int_{b}^{a}f(x)dx\)
 \(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
 \(=F(a)-F(b)\)
 \(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
 \(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
 \(=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
 \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
p.209
練習34
\({\small (1)}~10\) \({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\)
定積分の計算
p.209
練習35
\({\small (1)}~f(x)=4x-{\large \frac{16}{3}}\)
\({\small (2)}~f(x)=3x^2-2\)
定積分を含む式
p.210
練習36
\(3x^2-2x-1\)
p.210
練習37
\(f(x)=2x-1~,~a=-1~,~2\)
定積分で表された関数
p.213
練習38
\({\small (1)}~{\large \frac{26}{3}}\) \({\small (2)}~9\)
定積分と面積③(区間付きの面積)
p.214
練習39
\({\small (1)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{27}{4}}\)
定積分と面積①(x軸と囲まれた面積)
p.216
練習40
\({\small (1)}~{\large \frac{9}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{32}{3}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{64}{3}}\)
定積分と面積②(2つの関数で囲まれた面積)
p.217
練習41
\({\large \frac{37}{12}}\)
p.218
練習42
\({\small (1)}~{\large \frac{34}{3}}\) \({\small (2)}~15\)
絶対値を含む関数の定積分
p.219
研究1
\({\large \frac{64}{3}}\)
p.220
研究1
\({\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
問題
p.221
12
\(y=x^2+x\)
p.221
13
\({\small (1)}~8\) \({\small (2)}~-{\large \frac{9}{2}}\)
\({\small (3)}~3\)
p.221
14
\({\small (1)}~{\large \frac{16}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\)



章末問題 微分法と積分法

問題 解答
章末問題A
p.222
1
\({\small (1)}~y’=-6x^2-2x+2\)
\({\small (2)}~y’=3x^2\)
p.222
2
\({\small (1)}~y=3x-18\)
\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{3}}\)
p.222
3
\({\small (1)}~x=0\) で極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\)極値なし
\({\small (3)}~x={\large \frac{2}{3}}a\) で極大値 \(-{\large \frac{4}{27}}a^3\)
p.222
4
\(a=1~,~b=-6~,~c=9~,~d=1\)
p.222
5
\(-1<a<3\)
p.222
6
\({\small (1)}~{\large \frac{172}{3}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
p.222
7
\(f(x)=x^2-{\large \frac{2}{3}}\)
p.222
8
\(x=1\) で極大値 \(0\)
p.222
9
\({\small (1)}~{\large \frac{49}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{39}{2}}\)
章末問題B
p.223
10
\(k≧3\)
p.223
11
\(k=32\)
p.223
12
\(V_1:V_2=8:27\)
p.223
13
[証明]
\(a\neq0\) として1次関数を
 \(f(x)=ax+b\)
とすると、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)dx$$$$~=\left[ \frac{a}{2}x^2+bx \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a}{2}+b$$次に、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)^2dx$$$$~=\int_{0}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx$$$$~=\left[ \frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$よって、
 (右辺)−(左辺)$$~=\left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)^2$$$$~=\frac{a^2}{12}>0$$したがって、$$~\left\{\int_{0}^{1}f(x)dx\right\}^2<\int_{0}^{1}\left\{f(x)\right\}^2dx$$[終]
p.223
14
\(a=2~,~-2\)
p.223
15
\({\large \frac{16}{3}}\)
p.223
16
\({\large \frac{64}{3}}\)