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数研出版:改訂版高等学校数学Ⅱ

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第1章 式と証明
第2章 複素数と方程式
第3章 図形と方程式
第5章 指数関数と対数関数
第6章 微分法と積分法

 
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第4章 三角関数

第1節 三角関数


p.109 練習1

\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

\({\small (5)}~\)


p.109 練習2

\(420^\circ~,~-300^\circ\)
動径と一般角


p.110 練習3

\({\small (1)}~\)
[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
 \(2\pi \times {\large \frac{1}{2}}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)
[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
 \(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
 \(a={\large \frac{180}{\pi}}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left({\large \frac{180}{\pi}}\right)^\circ\)
[終]


p.110 練習4

\({\small (1)}~{\large \frac{7}{6}}\pi\) \({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\pi\) \({\small (3)}~{\large \frac{11}{6}}\pi\)
\({\small (4)}~225^\circ\) \({\small (5)}~270^\circ\)
弧度法と扇形


p.111 練習5

\({\small (1)}~l={\large \frac{4}{3}}\pi~,~S={\large \frac{8}{3}}\pi\)
\({\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi\)
弧度法と扇形


p.113 練習6

\({\small (1)}~\)
\(\sin{{\large \frac{5}{4}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}~,~\cos{{\large \frac{5}{4}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\tan{{\large \frac{5}{4}}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\)
\(\sin{{\large \frac{11}{6}}\pi}=-{\large \frac{1}{2}}~,~\cos{{\large \frac{11}{6}}\pi}={\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\tan{{\large \frac{11}{6}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\({\small (3)}~\)
\(\sin{\left(-{\large \frac{\pi}{3}}\right)}=-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}~,~\cos{\left(-{\large \frac{\pi}{3}}\right)}={\large \frac{1}{2}}\)
\(\tan{\left(-{\large \frac{\pi}{3}}\right)}=-\sqrt{3}\)
三角関数の値(単位円)
【問題演習】三角関数の値(単位円)


p.113 練習7

\({\small (1)}~\)第4象限 \({\small (2)}~\)第3象限


p.114 練習8

\(\cos{\theta}={\large \frac{2\sqrt{2}}{3}}~,~\tan{\theta}=-{\large \frac{1}{2\sqrt{2}}}\)


p.114 練習9

\(\cos{\theta}=-{\large \frac{1}{\sqrt{5}}}~,~\sin{\theta}=-{\large \frac{2}{\sqrt{5}}}\)
三角関数の相互関係の公式


p.115 練習10

\({\small (1)}~{\large \frac{4}{9}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{13}{27}}\)
三角関数の式の値


p.115 練習11

[証明]
 (左辺)$$=\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}-\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}\cdot\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$ (右辺)$$=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\cdot\sin^2{\theta}$$$$=\frac{\sin^4{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$したがって、
 \(\tan^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}\)
[終]
三角関数の等式の証明


p.119 練習12

\({\small (1)}~\)

周期 \(2\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(2\pi\)
\({\small (3)}~\)

周期 \(\pi\)
三角関数のグラフ④(平行移動)


p.119 練習13

\({\small (1)}~\)

周期 \(2\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(2\pi\)
\({\small (3)}~\)

周期 \(\pi\)
三角関数のグラフ②(縦幅の変化)


p.120 練習14

\({\small (1)}~\)

周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(4\pi\)
\({\small (3)}~\)

周期 \({\large \frac{\pi}{2}}\)
三角関数のグラフ③(周期の変化)


p.121 練習15

\({\small (1)}~\)

周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(4\pi\)
三角関数のグラフ⑤(式変形)


p.123 練習16

\({\small (1)}~-{\large \frac{1}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) \({\small (3)}~-1\)
三角関数の性質①
三角関数の性質②


p.124 練習17

\({\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{2}{3}}\pi\)
\({\small (2)}~\theta={\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{4}{3}}\pi\)
\({\small (3)}~\theta={\large \frac{3}{2}}\pi\)


p.124 練習18

\({\small (1)}~\theta={\large \frac{4}{3}}\pi+2n\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta={\large \frac{3}{4}}\pi+2n\pi~,~{\large \frac{5}{4}}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数


p.125 練習19

\(\theta={\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi\)
\(\theta={\large \frac{2}{3}}\pi+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
三角関数を含む方程式①
【問題演習】三角関数を含む方程式


p.125 練習20

\({\small (1)}~\theta={\large \frac{17}{12}}\pi~,~{\large \frac{23}{12}}\pi\)
\({\small (2)}~\theta={\large \frac{19}{12}}\pi~,~{\large \frac{23}{12}}\pi\)
三角関数を含む方程式②(範囲変化)


p.126 練習21

\({\small (1)}~{\large \frac{\pi}{3}}≦\theta≦{\large \frac{5}{3}}\pi\)
\({\small (2)}~{\large \frac{\pi}{4}}<\theta<{\large \frac{3}{4}}\pi\)
\({\small (3)}~0≦\theta<{\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi<\theta<2\pi\)


p.127 練習22

\(0≦\theta≦{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{\pi}{2}}<\theta≦{\large \frac{4}{3}}\pi\)
\({\large \frac{3}{2}}\pi<\theta<2\pi\)
三角関数を含む不等式①


p.128 練習23

\(\theta=\pi\) で最大値 \(2\)
\(\theta={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{5}{3}}\pi\) で最小値 \(-{\large \frac{1}{4}}\)
三角関数を含む2次関数


問題


p.129 1

\(\sin{\theta}={\large \frac{2}{\sqrt{5}}}~,~\cos{\theta}=-{\large \frac{1}{\sqrt{5}}}\)
または
\(\sin{\theta}=-{\large \frac{2}{\sqrt{5}}}~,~\cos{\theta}={\large \frac{1}{\sqrt{5}}}\)


p.129 2

\({\small (1)}~{\large \frac{1-a^2}{2}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{a(3-a^2)}{2}}\)


p.129 3

\({\small (1)}~\)

周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(4\pi\)
\({\small (3)}~\)

周期 \(2\pi\)
\({\small (4)}~\)

周期 \({\large \frac{2}{3}}\pi\)


p.129 4

\({\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{11}{6}}\pi\)
\({\small (2)}~\theta={\large \frac{5}{6}}\pi~,~{\large \frac{11}{6}}\pi\)
\({\small (3)}~{\large \frac{4}{3}}\pi<\theta<{\large \frac{5}{3}}\pi\)
\({\small (4)}~{\large \frac{\pi}{2}}<\theta≦{\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{3}{2}}\pi<\theta≦{\large \frac{5}{3}}\pi\)
\({\small (5)}~\theta={\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi\)
\({\small (6)}~0≦\theta<{\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi<\theta<2\pi\)
三角関数を含む不等式②(範囲変化)


p.129 5

\(\theta={\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{4}{3}}\pi\) で最大値 \({\large \frac{5}{4}}\)
\(\theta=0\) で最小値 \(-1\)


p.129 6

ア:\(2\) イ:\(5\) ウ:\(2\) エ:\(2\) オ:\(7\)
カ:\(6\) キ:\(1\) ク:\(1\) ケ:\(6\)
三角関数を含む2次方程式




第2節 加法定理


p.132 練習24

\({\large \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)


p.132 練習25

\({\large \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}~,~{\large \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)
加法定理


p.132 練習26

\({\large \frac{6+4\sqrt{5}}{15}}~,~-{\large \frac{3\sqrt{5}+8}{15}}\)
加法定理と式の値


p.133 練習27

\(-2-\sqrt{3}\)


p.133 練習28

\(2-\sqrt{3}\)


p.134 練習29

\({\large \frac{\pi}{4}}\)
2直線のなす角


p.135 研究1

\(\left({\large \frac{4\sqrt{3}-3}{2}},{\large \frac{3\sqrt{3}+4}{2}}\right)\)


p.136 練習30

\({\small (1)}~-{\large \frac{4\sqrt{5}}{9}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{9}}\)
\({\small (3)}~-4\sqrt{5}\)
2倍角の公式


p.136 練習31

\({\small (1)}~\) [証明]
\(~~~~~\sin{3\alpha}\)
\(=\sin{(2\alpha+\alpha)}\)
\(=\sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha}\)
\(=2\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}\)
    \(+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha}\)
\(=2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})\)
    \(+\sin{\alpha}-2\sin^3{\alpha}\)
\(=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)
したがって、
\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\) [終]
\({\small (2)}~\) [証明]
\(~~~~~\cos{3\alpha}\)
\(=\cos{(2\alpha+\alpha)}\)
\(=\cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha}\)
\(=(2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}\)
    \(-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}\)
\(=2\cos^3{\alpha}-\cos{\alpha}\)
    \(-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}\)
\(=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)
したがって、
\(\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\) [終]


p.137 練習32

\({\small (1)}~{\large \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)


p.137 練習33

\({\small (1)}~{\large \frac{3}{\sqrt{10}}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{\sqrt{10}}}\)
\({\small (3)}~3\)
半角の公式


p.138 練習34

\({\small (1)}~\theta=0~,~{\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi~,~\pi\)
\({\small (2)}~0<\theta<{\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi<\theta<\pi\)
2倍角を含む方程式・不等式


p.139 練習35

\({\small (1)}~2\sin{\left(\theta+{\large \frac{\pi}{6}}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-{\large \frac{\pi}{4}}\right)}\)
三角関数の合成


p.140 練習36

最大値 \(2\)、最小値 \(-2\)
三角関数の最大値・最小値


p.141 練習37

\(x={\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{11}{6}}\pi\)
合成を用いる方程式と不等式


問題


p.143 7

\({\small (1)}~{\large \frac{33}{65}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{16}{65}}\)


p.143 8

\(y=(\sqrt{3}+2)x~,~y=(\sqrt{3}-2)x\)


p.144 9

\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)$$=(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})^2$$$$=\sin^2{\alpha}+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}$$$$=1+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$ (右辺)$$=1+\sin{2\alpha}$$$$=1+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$したがって、
 \((\sin{\alpha}+\cos{\alpha})^2=1+\sin{2\alpha}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)$$=\frac{\sin{2\alpha}}{1+\cos{2\alpha}}$$$$=\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1+2\cos^2{\alpha}-1}$$$$=\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}}$$$$=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$$$=\tan{\alpha}$$したがって、$$\frac{\sin{2\alpha}}{1+\cos{2\alpha}}=\tan{\alpha}$$[終]


p.143 10

\({\small (1)}~\theta=0~,~{\large \frac{\pi}{3}}~,~\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi\)
\({\small (2)}~0<\theta<\pi~,~{\large \frac{7}{6}}\pi<\theta<{\large \frac{11}{6}}\pi\)
三角関数を含む2次不等式


p.143 11

\({\small (1)}~x={\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi\)
\({\small (2)}~0≦x≦{\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi≦x<2\pi\)


p.143 12

ア:\(5\) イ:\(4\) ウ:\(5\) エ:\(3\) オ:\(5\)
カ:\(5\) キ:\(5\)




章末問題 三角関数


章末問題A


p.144 1

\({\small (1)}~-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}\)


p.144 2

\({\small (1)}~-{\large \frac{\sqrt{6}}{2}}\) \({\small (2)}~-{\large \frac{3\sqrt{6}}{8}}\)


p.144 3

\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)$$=\frac{1}{1+\cos{\theta}}+\frac{1}{1-\cos{\theta}}$$$$=\frac{1-\cos{\theta}+1+\cos{\theta}}{(1+\cos{\theta})(1-\cos{\theta})}$$$$=\frac{2}{1-\cos^2{\theta}}$$$$=\frac{2}{\sin^2{\theta}}$$したがって、$$\frac{1}{1+\cos{\theta}}+\frac{1}{1-\cos{\theta}}=\frac{2}{\sin^2{\theta}}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)$$=\frac{1}{\tan{\theta}}-\tan{\theta}$$$$=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}-\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$ (右辺)$$=\frac{2\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}$$$$=\frac{2(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})}{2\sin{\theta}\cos{\theta}}$$$$=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}$$したがって、$$\frac{1}{\tan{\theta}}-\tan{\theta}=\frac{2\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}$$[終]


p.144 4

\({\small (1)}~x={\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi~,~{\large \frac{3}{2}}\pi\)
\({\small (2)}~{\large \frac{\pi}{6}}<x<{\large \frac{5}{6}}\pi\)


p.144 5

\({\small (1)}~\)$$~~~~~\sin{(\pi-\theta)}$$$$~=\sin{\pi}\cos{\theta}-\cos{\pi}\sin{\theta}$$$$~=0\cdot\cos{\theta}-(-1)\cdot\sin{\theta}$$$$=\sin{\theta}$$
$$~~~~~~\cos{(\pi-\theta)}$$$$~=\cos{\pi}\cos{\theta}+\sin{\pi}\sin{\theta}$$$$~=(-1)\cdot\cos{\theta}+0\cdot\sin{\theta}=-\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{(\pi-\theta)}$$$$~=\frac{\tan{\pi}-\tan{\theta}}{1+\tan{\pi}\tan{\theta}}$$$$~=\frac{0-\tan{\theta}}{1+0\cdot\tan{\theta}}$$$$=-\tan{\theta}$$
\({\small (2)}~\)$$~~~~~\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}$$$$~=\sin{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}-\cos{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}$$$$~=1\cdot\cos{\theta}-0\cdot\sin{\theta}$$$$=\cos{\theta}$$
$$~~~~~~\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}$$$$~=\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}$$$$~=0\cdot\cos{\theta}+1\cdot\sin{\theta}=\sin{\theta}$$
$$~~~~~~\tan{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}$$$$~=\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}}{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}}$$$$~=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1}{\tan{\theta}}$$


p.144 6

\(\theta={\large \frac{3}{2}}\pi\) で最小値 \(-2\)


p.144 7

\({\small (1)}~\)
\(x={\large \frac{5}{6}}\pi\) で最大値 \(2\)
\(x={\large \frac{11}{6}}\pi\) で最小値 \(-2\)
\({\small (2)}~x={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{4}{3}}\pi\)
\({\small (3)}~0≦x≦{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{4}{3}}\pi≦x<2\pi\)


章末問題B


p.145 8

\({\small (1)}~-{\large \frac{59}{72}}\) \({\small (2)}~1\)


p.145 9

[証明]
 (左辺)$$~=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$$$$~=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}$$両辺を \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) で割ると、$$~=\frac{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}-\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}$$$$~=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$したがって、$$\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}$$[終]


p.145 10

\((\sqrt{3}-3,3\sqrt{3}+1)\)


p.145 11

\({\small (1)}~\)

周期 \(\pi\)
\({\small (2)}~\)

周期 \(\pi\)


p.145 12

\(x={\large \frac{\pi}{8}}\) で最大値 \({\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(x={\large \frac{5}{8}}\pi\) で最小値 \(-{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\)


p.145 13

\({\small (1)}~y=t^2+t-1\)
\({\small (2)}~-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~\)
最大値 \(1+\sqrt{2}\)
最小値 \(-{\large \frac{5}{4}}\)


 



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