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数研出版:改訂版高等学校数学Ⅱ

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第1章 式と証明
第3章 図形と方程式
第4章 三角関数
第5章 指数関数と対数関数
第6章 微分法と積分法

 



第2章 複素数と方程式

第1節 複素数と2次方程式の解

問題 解答
p.37
練習1
\({\small (1)}~\)実部 \(-3\)、虚部 \(5\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-{\large \frac{1}{2}}\)、虚部 \(-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(1\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(-1\)
p.37
練習2
\({\small (1)}~x=3~,~y=-3\)
\({\small (2)}~x=2~,~y=-1\)
複素数の相等
p.37
練習3
\({\small (1)}~6+4i\) \({\small (2)}~2-2i\)
\({\small (3)}~3+2i\) \({\small (4)}~-2-i\)
p.38
練習4
\({\small (1)}~-2+11i\) \({\small (2)}~10+5i\)
\({\small (3)}~-5+12i\) \({\small (4)}~25\)
複素数の計算
p.38
練習5
\({\small (1)}~2-3i\) \({\small (2)}~1+i\)
\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\) \({\small (4)}~-{\large \frac{1}{2}}-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}i\)
共役な複素数と式の値
p.39
練習6
\({\small (1)}~{\large \frac{8}{13}}+{\large \frac{1}{13}}i\)
\({\small (2)}~-i\) \({\small (3)}~-1+2i\)
分数と複素数
p.40
練習7
\({\small (1)}~\sqrt{5}i\) \({\small (2)}~3i\) \({\small (3)}~\pm3\sqrt{2}i\)
p.40
練習8
\({\small (1)}~-2\sqrt{3}\) \({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\({\small (3)}~2i\) \({\small (4)}~-3i\)
負の数の平方根
p.41
練習9
\({\small (1)}~\pm i\) \({\small (2)}~\pm2\sqrt{2}i\)
p.41
練習10
\({\small (1)}~{\large \frac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{2\pm\sqrt{2}i}{3}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i}{2}}\) \({\small (4)}~\sqrt{3}\pm i\)
2次方程式の虚数解
p.43
練習11
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる2つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる2つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解
p.43
練習12
\(m<-3~,~1<m\) のとき
 異なる2つの実数解
\(m=1~,~-3\) のとき
 重解
\(-3<m<1\) のとき
 異なる2つの虚数解
複素数範囲での2次方程式の解の条件
p.44
練習13
\({\small (1)}~\)和 \(-4\)、積 \(2\)
\({\small (2)}~\)和 \(2\)、積 \(-{\large \frac{4}{3}}\)
p.45
練習14
\({\small (1)}~11\) \({\small (2)}~-36\) \({\small (3)}~13\)
2次方程式の解と係数の関係
p.45
練習15
\({\small (1)}~m=4\)、解は \(-1~,~-4\)
\({\small (2)}~m=6\)、解は \(-2~,~-3\)
2つの解の条件と解と係数の関係
p.46
練習16
\({\small (1)}~\left(x-{\large \frac{3+\sqrt{17}}{2}}\right)\left(x-{\large \frac{3-\sqrt{17}}{2}}\right)\)
\({\small (2)}~2\left(x-{\large \frac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)\left(x-{\large \frac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)\)
\({\small (3)}~(x+2-\sqrt{2}i)(x+2+\sqrt{2}i)\)
複素数範囲での因数分解
p.47
練習17
\({\small (1)}~x^2-x-2=0\)
\({\small (2)}~x^2-4x+1=0\)
\({\small (3)}~x^2-2x+5=0\)
p.47
練習18
\({\small (1)}~-1+\sqrt{5}i~,~-1-\sqrt{5}i\)
\({\small (2)}~{\large \frac{3+\sqrt{3}i}{2}}~,~{\large \frac{3-\sqrt{3}i}{2}}\)
p.48
練習19
\({\small (1)}~x^2+x-3=0\)
\({\small (2)}~x^2-11x+1=0\)
解が与えられた2次方程式
p.49
練習20
\({\small (1)}~0<m<1\)
\({\small (2)}~m>9\)
\({\small (3)}~m<0\)
2次方程式の解の符号
問題
p.50
1
\({\small (1)}~x=-5~,~y=-2\)
\({\small (2)}~x=3~,~y=2\)
p.50
2
\({\small (1)}~{\large \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~0\)
p.50
3
\({\small (1)}~{\large \frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{3}i}{4}}\) \({\small (2)}~\pm{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}i\)
p.50
4
\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~-3\) \({\small (3)}~{\large \frac{2}{3}}\)
p.50
5
\({\small (1)}~x^2-3x-11=0\)
\({\small (2)}~x^2+14x-4=0\)
\({\small (3)}~x^2-6x-7=0\)
p.50
6
ア:\(2\) イ:\(2\) ウ:\(3\) エ:\(2\) オ:\(3\)



第2節 高次方程式

問題 解答
p.51
練習21
\({\small (1)}~-3\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~0\)
p.51
練習22
[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
 \(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-{\large \frac{b}{a}}\) を代入すると、
\(P\left(-{\large \frac{b}{a}}\right)\)
   \(=(-b+b)Q\left(-{\large \frac{b}{a}}\right)+R=R\)
したがって、整式 \(P(x)\) を1次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-{\large \frac{b}{a}}\right)\) に等しい [終]
剰余の定理
p.52
練習23
\(a=-1\)
p.52
練習24
\(-x+4\)
剰余の定理と余りの決定
p.53
練習25
②と③
p.53
練習26
\({\small (1)}~(x-1)(x+2)(x-4)\)
\({\small (2)}~(x+1)(x-3)^2\)
\({\small (3)}~(x-2)(2x+1)(x+3)\)
因数定理を用いる因数分解
p.54
研究1
商 \(x^2-3x-3\)、余り \(0\)
p.55
練習27
\({\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-1~,~{\large \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}}\)
高次方程式の解①(3次方程式)
p.56
練習28
\({\small (1)}~x=\pm\sqrt{3}~,~\pm2i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)
高次方程式の解②(4次方程式)
p.56
練習29
\({\small (1)}~x=-3~,~-2~,~1\)
\({\small (2)}~x=-2~,~-1\)
\({\small (3)}~x=1~,~1\pm\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~x=2~,~{\large \frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}}\)
高次方程式の解①(3次方程式)
p.57
練習30
\(a=-4~,~b=6\)
他の解 \(-3~,~1-i\)
3次方程式の虚数解
p.58
発展1
\({\small (1)}~7\) \({\small (2)}~3\)
問題
p.59
7
\({\large \frac{2}{3}}\)
p.59
8
\({\small (1)}~\)
 \(P(-1)=-a+b-1\)
 \(P(3)=3a+b+27\)
\({\small (2)}~a=-4~,~b=-8\)
p.59
9
\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~0\)
1の3乗根
p.59
10
\({\small (1)}~x=\pm2~,~\pm\sqrt{6}i\)
\({\small (2)}~x=-3~,~-1~,~{\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (3)}~x=\pm1~,~{\large \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}\)
p.59
11
\({\small (1)}~a=-1~,~b=2\)
\({\small (2)}~2\)
p.59
12
ア:\(1\) イ:\(2\) ウ:\(3\)



章末問題 複素数と方程式

問題 解答
章末問題A
p.59
1
\({\small (1)}~7+\sqrt{2}i\)
\({\small (2)}~-2-2i\)
\({\small (3)}~{\large \frac{7}{10}}-{\large \frac{1}{10}}i\)
p.60
2
\({\small (1)}~x={\large \frac{1}{2}}~,~{\large \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{4}}\)
\({\small (2)}~x=\pm{\large \frac{\sqrt{6}}{2}}~,~\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (3)}~x=2~,~{\large \frac{-5\pm\sqrt{23}i}{2}}\)
\({\small (4)}~x=\pm2~,~-1~,~3\)
p.60
3
\(a=-3~,~b=1\)
他の解 \(-1~,~2-i\)
章末問題B
p.60
4
\(z=3+2i~,~-3-2i\)
p.60
5
\(a=-4~,~b=-2\)
p.60
6
\(4<m<8\)
p.60
7
\({\small (1)}~\)[証明] \(x=-1+\sqrt{2}i\) より、
 \(x+1=\sqrt{2}i\)
両辺を2乗すると、
 \((x+1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
 \(x^2+2x+1=-2\)
移項すると、
 \(x^2+2x+3=0\) [終]
\({\small (2)}~-2-3\sqrt{2}i\)
p.60
8
\(-2≦a<2~,~b=-1\)

 



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