このページは、東京書籍：Standard数学Ｂ[702]
第１章 数列
第１章 数列
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１章 数列
１節 数列
p.10 問1\({\small (1)}~7~,~12~,~17~,~22~,~27\)
\({\small (2)}~2~,~6~,~18~,~54~,~162\)
\({\small (2)}~2~,~6~,~18~,~54~,~162\)
p.11 問2\({\small (1)}~5~,~9~,~13~,~17~,~21\)
\({\small (2)}~1~,~4~,~9~,~16~,~25\)
\({\small (3)}~-2~,~4~,~-8~,~16~,~-32\)
\({\small (2)}~1~,~4~,~9~,~16~,~25\)
\({\small (3)}~-2~,~4~,~-8~,~16~,~-32\)
p.11 問3\({\small (1)}~3~,~6~,~9~,~12~,~15~,~a_n=3n\)
\({\small (2)}~1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~a_n=2n-1\)
\({\small (2)}~1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~a_n=2n-1\)
p.12 問4\({\small (1)}~\)初項 \(3\)、公差 \(4\)、第 \(5\) 項は \(19\)
\({\small (2)}~\)初項 \(7\)、公差 \(-6\)、第 \(5\) 項は \(-17\)
\({\small (2)}~\)初項 \(7\)、公差 \(-6\)、第 \(5\) 項は \(-17\)
p.14 問6\({\small (1)}~a_n=5n-2~,~a_{25}=123\)
\({\small (2)}~a_n=-4n+11~,~a_{25}=-89\)
\({\small (2)}~a_n=-4n+11~,~a_{25}=-89\)
p.15 問9 第 \(14\) 項
p.15 問10\({\small (1)}~x=9\) \({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
p.16 問11\(~~~5050\)
p.18 問12\({\small (1)}~340\) \({\small (2)}~182\)
p.18 問13\(~~~85\)
p.18 問14\(~~~728\)
p.19 問15 第 \(18\) 項
p.19 問16\(~~~900\)
p.20 問17\({\small (1)}~\)初項 \(6\)、公比 \({\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)、第 \(5\) 項は \({\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}}\)
\({\small (2)}~\)初項 \(2\)、公比 \(-3\)、第 \(5\) 項は \(162\)
\({\small (2)}~\)初項 \(2\)、公比 \(-3\)、第 \(5\) 項は \(162\)
p.22 問18\({\small (1)}~a_n=5^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\)
p.25 問22\({\small (1)}~S_n=\displaystyle \frac{\,4^n-1\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~S_n=4\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\right\}\)
\({\small (2)}~S_n=4\left\{1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\right\}\)
Training
p.26 Training 2\({\small (1)}~a_n=7n-9\) \({\small (2)}~a_n=-3n+50\)
p.26 Training 5\(~~~55350\)
p.26 Training 8\({\small (1)}~186\) \({\small (2)}~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^n\,}\)
２節 いろいろな数列
p.28 問1\({\small (1)}~5+8+11+14=38\)
\({\small (2)}~2^3+3^3+4^3+5^3=224\)
\({\small (3)}~5^1+5^2+5^3=155\)
\({\small (2)}~2^3+3^3+4^3+5^3=224\)
\({\small (3)}~5^1+5^2+5^3=155\)
p.28 問2\({\small (1)}~\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2k\) \({\small (2)}~\displaystyle \sum_{k=1}^{4}k(k+2)\)
p.29 問4[証明]
恒等式 \((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\) において、
\(k=1\) のとき、
\(2^4-1^2=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1\)
\(k=2\) のとき、
\(3^4-2^4=4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1\)
\(k=3\) のとき、
\(4^4-3^4=4\cdot 3^3+6\cdot 3^2+4\cdot 3+1\)
…
\(k=n\) のとき、
\((n+1)^4-n^4\)
\(=4\cdot n^3+6\cdot n^2+4\cdot n+1\)
これらの両辺を加えていくと、
\((n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)\)
\(+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\)
\(+4(1+2+3+\cdots+n)+n\)
ここで、\(S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\) として和の計算をすると、
\((n+1)^4-1^4=4S+n(n+1)(2n+1)\)
\(+2n(n+1)+n\)
\(S\) について整理すると、
\(4S=\{n(n+1)\}^2\)
よって、
\(S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\right\}^2\)
したがって、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\right\}^2\) [終]
恒等式 \((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\) において、
\(k=1\) のとき、
\(2^4-1^2=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1\)
\(k=2\) のとき、
\(3^4-2^4=4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1\)
\(k=3\) のとき、
\(4^4-3^4=4\cdot 3^3+6\cdot 3^2+4\cdot 3+1\)
…
\(k=n\) のとき、
\((n+1)^4-n^4\)
\(=4\cdot n^3+6\cdot n^2+4\cdot n+1\)
これらの両辺を加えていくと、
\((n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)\)
\(+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\)
\(+4(1+2+3+\cdots+n)+n\)
ここで、\(S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\) として和の計算をすると、
\((n+1)^4-1^4=4S+n(n+1)(2n+1)\)
\(+2n(n+1)+n\)
\(S\) について整理すると、
\(4S=\{n(n+1)\}^2\)
よって、
\(S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\right\}^2\)
したがって、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\right\}^2\) [終]
p.30 問5\({\small (1)}~-2n\) \({\small (2)}~820\) \({\small (3)}~650\)
\({\small (4)}~\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n-1)\right\}^2\)
\({\small (4)}~\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n-1)\right\}^2\)
p.31 問6\({\small (1)}~242\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1-(-2)^n\,}{\,3\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5(5^n-1)\,}{\,4\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5(5^n-1)\,}{\,4\,}\)
p.31 問7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(3n+7)\) \({\small (2)}~(n-1)^2\)
p.35 問11\({\small (1)}~n^2-2n+2\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3^{n-1}+5\,}{\,2\,}\)
Training
p.40 Training 11\({\small (1)}~n(2n+5)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n+1)(3n-4)\)
\({\small (3)}~-6n^2\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(2n^2+9n+25)\)
\({\small (5)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(4n^2+21n-1)\)
\({\small (6)}~1-(-3)^n\)
\({\small (7)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}(7^n-1)\)
\({\small (8)}~2^n-2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n-1)(2n-1)\)
\({\small (9)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n-1)(n+1)(n+2)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n+1)(3n-4)\)
\({\small (3)}~-6n^2\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(2n^2+9n+25)\)
\({\small (5)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(4n^2+21n-1)\)
\({\small (6)}~1-(-3)^n\)
\({\small (7)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}(7^n-1)\)
\({\small (8)}~2^n-2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n-1)(2n-1)\)
\({\small (9)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n-1)(n+1)(n+2)\)
p.40 Training 12\({\small (1)}~a_n=n(2n+1)\)
\(~~~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)\)
\({\small (2)}~a_n=-2n(2n+1)\)
\(~~~~~S_n=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(4n+5)\)
\(~~~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(4n+5)\)
\({\small (2)}~a_n=-2n(2n+1)\)
\(~~~~~S_n=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(4n+5)\)
３節 漸化式と数学的帰納法
p.44 問3\({\small (1)}~n^2+2\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(2n^3-3n^2+n+12)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(2n^3-3n^2+n+12)\)
p.49 問5[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.49 問6[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(a_n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(a_1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&4a_k+3
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 3m+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&12m+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(4m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+1\) は整数より、\(a_{k+1}\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(a_n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(a_1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&4a_k+3
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 3m+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&12m+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(4m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+1\) は整数より、\(a_{k+1}\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.49 問7① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1\cdot 2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1\cdot 2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+2+3+\cdots+k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+k+(k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)+(k+1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,k+2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)+(k+1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,k+2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.50 問8[証明] \(n{\small ~≧~}3\) のすべての自然数 \(n\) について、
\(3^n\gt 8n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=3\) のとき、
左辺 \(=3^3=27\)、右辺 \(=8\cdot 3=24\)
よって、\(n=3\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(3^k\gt 8k~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^{k+1}-8(k+1)
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 3^k-8(k+1)\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(3^k\gt 8k\) であるから
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~3^{k+1}-8(k+1)&\gt&0
\\[3pt]~~~3^{k+1}&\gt&8(k+1)
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
\(3^n\gt 8n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=3\) のとき、
左辺 \(=3^3=27\)、右辺 \(=8\cdot 3=24\)
よって、\(n=3\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(3^k\gt 8k~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^{k+1}-8(k+1)
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 3^k-8(k+1)\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(3^k\gt 8k\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~3\cdot \underline{3^k}-8(k+1)&\gt &3\cdot \underline{8k}-8(k+1)
\\[3pt]~~~&=&24k-8k-8
\\[3pt]~~~&=&16k-8\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}3\,)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&24k-8k-8
\\[3pt]~~~&=&16k-8\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}3\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~3^{k+1}-8(k+1)&\gt&0
\\[3pt]~~~3^{k+1}&\gt&8(k+1)
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.51 Challenge 問1初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,2k+2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k+2\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,(k+1)+1\,}\end{eqnarray}\)
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,2k+2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k+2\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,(k+1)+1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
Training
p.52 Training 20\({\small (1)}~a_n=3n+2\)
\({\small (2)}~a_n=9\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)
\({\small (3)}~a_n=(-1)^n\)
\({\small (2)}~a_n=9\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)
\({\small (3)}~a_n=(-1)^n\)
p.52 Training 21\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(n^3-3n^2+2n+9)\)
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}+2\)
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}+2\)
p.52 Training 22\({\small (1)}~a_n=5\cdot2^{n-1}-3\)
\({\small (2)}~a_n=7\cdot\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+2\)
\({\small (3)}~a_n=4\cdot(-1)^{n-1}+1\)
\({\small (4)}~a_n=5\cdot\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^{n-1}-1\)
\({\small (2)}~a_n=7\cdot\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+2\)
\({\small (3)}~a_n=4\cdot(-1)^{n-1}+1\)
\({\small (4)}~a_n=5\cdot\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)^{n-1}-1\)
p.52 Training 23[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(8^n-7n-1\) が \(49\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(8^1-7\cdot 1-1=0=49\cdot 0\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~8^k-7k-1&=&49m
\\[3pt]~8^k&=&49m+7k+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(8m+k\) は整数より、\(8^{k+1}-7(k+1)-1\) は \(49\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(8^n-7n-1\) が \(49\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(8^1-7\cdot 1-1=0=49\cdot 0\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~8^k-7k-1&=&49m
\\[3pt]~8^k&=&49m+7k+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&8^{k+1}-7(k+1)-1
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-7-1
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-8
\\[3pt]~~~&=&8\left(49m+7k+1\right)-7k-8 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&392m+56k+8-7k-8
\\[3pt]~~~&=&392m+49k
\\[3pt]~~~&=&49\left(8m+k\right)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-7-1
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-8
\\[3pt]~~~&=&8\left(49m+7k+1\right)-7k-8 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&392m+56k+8-7k-8
\\[3pt]~~~&=&392m+49k
\\[3pt]~~~&=&49\left(8m+k\right)
\end{eqnarray}\)
\(8m+k\) は整数より、\(8^{k+1}-7(k+1)-1\) は \(49\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.52 Training 24① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 3\cdot 1=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^3=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot 1^2\cdot 2^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 3\cdot 1=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2+\{\,2(k+1)-1\,\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)\left\{\,k(2k-1)+3(2k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(2k^2+5k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(k+1)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)-1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)\left\{\,k(2k-1)+3(2k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(2k^2+5k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(k+1)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)-1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
③ [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^3=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot 1^2\cdot 2^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2+(k+1)^3 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,k^2+4(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,(k+1)+1\,\right\}^2
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2+(k+1)^3 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,k^2+4(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,(k+1)+1\,\right\}^2
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.52 Training 25[証明] \(n{\small ~≧~}4\) のすべての自然数 \(n\) について、
\(2^n{\small ~≧~}n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=4\) のとき、
左辺 \(=2^4=16\)、右辺 \(=4^2=16\)
よって、\(n=4\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(2^k{\small ~≧~}k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{k+1}-(k+1)^2
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(k+1)^2\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(2^k{\small ~≧~}k^2\) であるから
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{k+1}-(k+1)^2&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~2^{k+1}&{\small ~≧~}&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(4\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
\(2^n{\small ~≧~}n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=4\) のとき、
左辺 \(=2^4=16\)、右辺 \(=4^2=16\)
よって、\(n=4\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(2^k{\small ~≧~}k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{k+1}-(k+1)^2
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(k+1)^2\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(2^k{\small ~≧~}k^2\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot \underline{2^k}-(k+1)^2&{\small ~≧~}&2\cdot \underline{k^2}-(k+1)^2
\\[3pt]~~~&=&2k^2-(k^2+2k+1)
\\[3pt]~~~&=&k^2-2k-1\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}4\,)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2k^2-(k^2+2k+1)
\\[3pt]~~~&=&k^2-2k-1\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}4\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{k+1}-(k+1)^2&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~2^{k+1}&{\small ~≧~}&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(4\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.53 発展 問1\({\small (1)}~a_n=2^n-1\)
\({\small (2)}~a_n=3^{n-1}+(-2)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=3^{n-1}+(-2)^{n-1}\)
Level Up 数列
p.54 Level Up 1\({\small (1)}~1683\) \({\small (2)}~432\)
\({\small (3)}~2551\) \({\small (4)}~1251\)
\({\small (3)}~2551\) \({\small (4)}~1251\)
p.54 Level Up 6\(~~~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(10^n-1)\)
\(~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(10^{n+1}-9n-10)\)
\(~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(10^{n+1}-9n-10)\)
p.54 Level Up 7\(\begin{split}~~~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}\\[3pt]=~&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~&\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\\[3pt]=~&\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,4(n+1)(n+2)\,}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~&\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\\[3pt]=~&\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,4(n+1)(n+2)\,}\end{split}\)
p.55 Level Up 8\({\small (1)}~\)第 \(120\) 項 \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,21\,}\)
p.55 Level Up 9\({\small (1)}~a_{n+1}=a_n+n\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n-1)\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n-1)\)
p.55 Level Up 10\({\small (1)}~b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}b_n+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~a_n=6\cdot5^{n-1}-3^n\)
\({\small (2)}~a_n=6\cdot5^{n-1}-3^n\)
p.55 Level Up 11\({\small (1)}~b_{n+1}=3b_n+2\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\cdot3^n-5\,}\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\cdot3^n-5\,}\)
p.55 Level Up 12[証明] \(n{\small ~≧~}2\) のすべての自然数 \(n\) について、
\({\small (1)}~\) \(n=2\) のとき、
左辺 \(\displaystyle=\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}=1+\frac{\,1\,}{\,4\,}=\frac{\,5\,}{\,4\,}\)
右辺 \(\displaystyle=2-\frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,3\,}{\,2\,}=\frac{\,6\,}{\,4\,}\)
よって、\(n=2\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}+\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}\) であるから
ここで、\(k{\small ~≧~}2\) のとき \(k\lt k+1\) より \(k(k+1)\lt (k+1)^2\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}&\lt &\displaystyle\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}+\underline{\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}}
\\[5pt]~~~&\lt &\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}+\underline{\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(2\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\frac{\,1\,}{\,3^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,n^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,n\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=2\) のとき、
左辺 \(\displaystyle=\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}=1+\frac{\,1\,}{\,4\,}=\frac{\,5\,}{\,4\,}\)
右辺 \(\displaystyle=2-\frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,3\,}{\,2\,}=\frac{\,6\,}{\,4\,}\)
よって、\(n=2\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}+\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\underline{\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}}+\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}\lt \displaystyle\underline{2-\frac{\,1\,}{\,k\,}}+\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(k{\small ~≧~}2\) のとき \(k\lt k+1\) より \(k(k+1)\lt (k+1)^2\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}&\lt &\displaystyle\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}+\underline{\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}}
\\[5pt]~~~&\lt &\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k\,}+\underline{\frac{\,1\,}{\,k\,}-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle 2-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1^2\,}+\frac{\,1\,}{\,2^2\,}+\cdots +\frac{\,1\,}{\,k^2\,}+\frac{\,1\,}{\,(k+1)^2\,}\lt 2-\frac{\,1\,}{\,k+1\,}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(2\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.55 Level Up 13① 数列 \(\{a_n\}\) の各項を順次計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&1+2+1=4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&1+2+3+2+1=9\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&1+2+3+4+3+2+1=16\end{eqnarray}\)
これより、
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=n^2\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&1^2=1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\(n=k+1\) のとき、
ここで、\(a_k\) と \(a_{k+1}\) の関係を考えると、
\(a_k=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
\(a_{k+1}=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k+1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&a_k+k+(k+1)
\\[5pt]~&=&a_k+2k+1
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&k^2+2k+1
\\[5pt]~&=&(k+1)^2\end{eqnarray}\)
\(a_n=n^2\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&1+2+1=4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&1+2+3+2+1=9\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&1+2+3+4+3+2+1=16\end{eqnarray}\)
これより、
\(a_1=1=1^2\,,\,\,a_2=4=2^2\,,\,\,a_3=9=3^2\,,\,\,a_4=16=4^2\)
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=n^2\)
② ①より、一般項は \(a_n=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) と推測される
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&1^2=1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&1+2+\cdots+(k-1)+k+(k-1)+\cdots+2+1
\\[3pt]~&=&k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~&=&k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&1+2+\cdots+k+(k+1)+k+\cdots+2+1
\end{eqnarray}\)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a_k\) と \(a_{k+1}\) の関係を考えると、
\(a_k=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
\(a_{k+1}=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k+1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&a_k+k+(k+1)
\\[5pt]~&=&a_k+2k+1
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&k^2+2k+1
\\[5pt]~&=&(k+1)^2\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=n^2\)
