このページは、東京書籍:Advanced数学A[701]
3章 数学の人間の活動
3章 数学の人間の活動
教科書の復習から入試の入門まで|数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介 高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか?教科書の内...
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Advanced数学A 1章 場合の数と確率
Advanced数学A 2章 図形の性質
Advanced数学A 3章 数学の人間の活動
3章 数学の人間の活動
参考 約数と倍数
p.149 問3\({\small (1)}~\)
最大公約数 \(28\)
最小公倍数 \(280\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(15\)
最小公倍数 \(3960\)
\({\small (3)}~\)
最大公約数 \(1\)
最小公倍数 \(85800\)
→ 最大公約数と最小公倍数
最大公約数 \(28\)
最小公倍数 \(280\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(15\)
最小公倍数 \(3960\)
\({\small (3)}~\)
最大公約数 \(1\)
最小公倍数 \(85800\)
→ 最大公約数と最小公倍数
p.149 問4\({\small (1)}~\)互いに素である
\({\small (2)}~\)互いに素でない
\({\small (3)}~\)互いに素である
\({\small (2)}~\)互いに素でない
\({\small (3)}~\)互いに素である
参考 余りによる分類
p.151 問1[証明]すべての整数を4で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
それぞれについて \(n^2\) は
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
\(n^2=4\cdot 4k^2\)
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは \(0\) または \(1\) である [終]
\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
それぞれについて \(n^2\) は
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
\(n^2=4\cdot 4k^2\)
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは \(0\) または \(1\) である [終]
p.151 問2[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する2つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を3で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が3の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
\(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が3の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が3の倍数となる
(ⅰ)~(ⅲ)のどの場合でも3の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は6の倍数である [終]
→ 整数の分類と証明
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を3で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が3の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
\(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が3の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が3の倍数となる
(ⅰ)~(ⅲ)のどの場合でも3の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は6の倍数である [終]
→ 整数の分類と証明
p.151 発展 問3$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~3$$$${\small (3)}~4$$
参考 ユークリッドの互除法
p.153 問1$${\small (1)}~15$$$${\small (2)}~431$$→ ユークリッドの互除法
参考 2元1次方程式
p.154 問1\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=6n~,~y=-5n\)
\(x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=6n~,~y=-5n\)
p.155 問2\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(x=7n+3~,~y=5n+2\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=-3n+9\)
→ 不定方程式①
\(x=7n+3~,~y=5n+2\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=-3n+9\)
→ 不定方程式①
参考 記数法
p.156 問1$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~10$$$${\small (3)}~31$$→ n進法①(10進法で表す)
p.157 問2$${\small (1)}~10010_{(2)}$$$${\small (2)}~100000_{(2)}$$$${\small (3)}~1111101_{(2)}$$→ n進法②(n進法で表す)
p.157 問3$${\small (1)}~1.75$$$${\small (2)}~3.25$$$${\small (3)}~0.8125$$→ n進法と小数