このページは、東京書籍：Advanced数学Ａ[701]
３章 数学の人間の活動
３章 数学の人間の活動
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
Advanced数学Ａ １章 場合の数と確率
Advanced数学Ａ ２章 図形の性質
Advanced数学Ａ ３章 数学の人間の活動
３章 数学の人間の活動
参考 約数と倍数
p.149 問3\({\small (1)}~\)
最大公約数 \(28\)
最小公倍数 \(280\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(15\)
最小公倍数 \(3960\)
\({\small (3)}~\)
最大公約数 \(1\)
最小公倍数 \(85800\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
最大公約数 \(28\)
最小公倍数 \(280\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(15\)
最小公倍数 \(3960\)
\({\small (3)}~\)
最大公約数 \(1\)
最小公倍数 \(85800\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
p.149 問4\({\small (1)}~\)互いに素である
\({\small (2)}~\)互いに素でない
\({\small (3)}~\)互いに素である
解法のPoint｜互いに素の2つの整数
\({\small (2)}~\)互いに素でない
\({\small (3)}~\)互いに素である
解法のPoint｜互いに素の2つの整数
参考 余りによる分類
p.151 問1[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
解法のPoint｜余りによる分類と倍数の証明
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
解法のPoint｜余りによる分類と倍数の証明
p.151 問2[証明] \(n(n+1)(2n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
解法のPoint｜連続する整数の積の証明
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
解法のPoint｜連続する整数の積の証明
参考 ユークリッドの互除法
参考 ２元１次方程式
p.154 問1\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=6n~,~y=-5n\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\(x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=6n~,~y=-5n\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.155 問2\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(x=7n+3~,~y=5n+2\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=-3n+9\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\(x=7n+3~,~y=5n+2\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(x=5n~,~y=-3n+9\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
参考 記数法
p.157 問2\({\small (1)}~10010_{(2)}\) \({\small (2)}~100000_{(2)}\)
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
