このページは「高校数学Ⅱ：式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】数学Ⅱ：式と証明
複素数の相等
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【解答】$${\small (1)}~a=\frac{1}{2}~,~b=-3~~~~~~{\small (2)}~a=1~,~b=4$$
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複素数の計算
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【解答】$${\small (1)}~9-4i~~~~~~{\small (2)}~3+4i$$$${\small (3)}~2-4i~~~~~~{\small (4)}~-1~~~~~~~~{\small (5)}~1$$
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共役な複素数と式の値
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【解答】$${\small (1)}~6~~~~~~{\small (2)}~2i~~~~~~{\small (3)}~10~~~~~~{\small (4)}~16$$
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分数と複素数
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【解答】$${\small (1)}~\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i~~~~~~{\small (2)}~-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$$${\small (3)}~\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}i$$
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負の数の平方根
\({\small (1)}~-5\) の平方根を答えよ。
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt{-9}+\sqrt{-25}$$$$~{\large ②}~\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}$$$$~{\large ③}~\frac{\sqrt{-21}}{\sqrt{7}}$$$$~{\large ④}~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}$$
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【解答】$${\small (1)}~\pm\sqrt{5}i$$$${\small (2)}~{\large ①}~8i~~~~~~~~{\large ②}~-2\sqrt{3}$$$$~~~~~{\large ③}~\sqrt{3}i~~~~~~{\large ④}~-\frac{\sqrt{6}}{2}i$$
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２次方程式の虚数解
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【解答】$${\small (1)}~x=\pm\sqrt{3}i~~~~~~{\small (2)}~x=3\pm2i$$$${\small (3)}~x=\frac{-3\pm3\sqrt{3}i}{2}$$
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複素数範囲での２次方程式の解の条件
\({\small (1)}~\) 次の２次方程式の解の種類を判別せよ。$$~{\large ①}~9x^2-6x+1=0$$$$~{\large ②}~x^2-x-1=0$$$$~{\large ③}~x^2+2x+4=0$$\({\small (2)}~\) ２次方程式 \(x^2-kx+1=0\) の解の種類を判別せよ。ただし、\(k\) は定数とする。
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【解答】
\({\small (1)}~\)① 重解をもつ
② 異なる２つの実数解をもつ
③ 異なる２つの虚数解をもつ
\({\small (2)}~\)\(k<-2~,~2<k\) とき、
異なる２つの実数解をもつ
\(~~~~~k=\pm2\) とき、
重解をつ
\(~~~~~-2<k<2\) とき、
異なる２つの虚数解をもつ
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２次方程式の解と係数の関係
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【解答】$${\small (1)}~7~~~~~~{\small (2)}~-18~~~~~~{\small (3)}~-3~~~~~~{\small (4)}~7$$
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２つの解の条件と解と係数の関係
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【解答】$$~~~~~~m=-\frac{8}{3}~,~4$$
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複素数範囲での因数分解
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【解答】$${\small (1)}~\left(x-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \left(x-\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$$$$~=\left(x+\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right) \left(x+\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)$$$${\small (2)}~3\left(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right) \left(x-\frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right)$$$$~=3\left(x+\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right) \left(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)$$
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解が与えられた２次方程式
\({\small (1)}~\) ２数 \(1+2i~,~1-2i\) を解とする２次方程式を１つ答えよ。
\({\small (2)}~\) ２次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の２つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の２数を解とする２次方程式を１つ答えよ。$$~~{\large ①}~\alpha-1~,~\beta-1$$$$~~{\large ②}~\alpha^2~,~\beta^2$$
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【解答】$${\small (1)}~x^2-2x+5=0$$$${\small (2)}~{\large ①}~x^2+5x+5=0$$$$~~~~~{\large ②}~x^2-7x+1=0$$
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２次方程式の解の符号
\({\small (1)}~\) ２つの解がともに負
\({\small (2)}~\) 異符号の解
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【解答】$${\small (1)}~-8<k<-4$$$${\small (2)}~k<-8$$
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剰余の定理
\({\small (1)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+3x^2-5x+1\) を次の式で割ったときの余りを答えよ。$$~{\large ①}~x-1$$$$~{\large ②}~x+2$$$$~{\large ③}~2x+1$$$$~{\large ④}~3x-1$$\({\small (2)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+ax^2+3x-1\) を \(x-2\) で割ったときの余りが \(-3\) となるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~2~~~~~~~~~{\large ②}~-1$$$$~~~~~{\large ③}~\frac{31}{8}~~~~~~{\large ④}~-\frac{2}{9}$$$${\small (2)}~a=-8$$
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剰余の定理と余りの決定
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【解答】$$~~~~~~2x+3$$
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因数定理を用いる因数分解
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【解答】$${\small (1)}~(x-1)(x+1)(x-3)$$$${\small (2)}~(x-2)(2x+1)(x+3)$$
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高次方程式の解①（３次方程式）
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【解答】$${\small (1)}~x=-2~,~1\pm\sqrt{3}i$$$${\small (2)}~x=1~,~2\pm3i$$
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高次方程式の解②（４次方程式）
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【解答】$${\small (1)}~x=-1~,~3~,~-1\pm3i$$$${\small (2)}~x=\pm\sqrt{2}i~,~\pm3$$
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３次方程式の虚数解
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【解答】$$~~~a=28~,~b=-30$$ 他の解は、$$~~~x=3~,~3+i$$
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１の３乗根
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【解答】$${\small (1)}~4~~~~~~{\small (2)}~1~~~~~~{\small (3)}~-1~~~~~~{\small (4)}~0$$
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