数学Ⅰ｜数と式｜問題一覧 ＞ 問題解説 11
11｜絶対値を含む方程式・不等式
11
次の方程式・不等式の解を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\, 2x-3 \,|=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}~,~\fbox{イ}\) ただし、\(\fbox{ア}\lt \fbox{イ}\)
\({\small (2)}~\)\(|\, x-1 \,|{\small ~≧~}2\) の解は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}{\small ~≦~}x\)
\({\small (3)}~\)\(|\, 3x+1 \,| \lt 5\) の解は \(\fbox{カキ} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\)
次の方程式・不等式の解を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\, 2x-3 \,|=1\) の解は、
\(x=\fbox{ア}~,~\fbox{イ}\) ただし、\(\fbox{ア}\lt \fbox{イ}\)
\({\small (2)}~\)\(|\, x-1 \,|{\small ~≧~}2\) の解は、
\(x{\small ~≦~}\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ}{\small ~≦~}x\)
\({\small (3)}~\)\(|\, 3x+1 \,| \lt 5\) の解は \(\fbox{カキ} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\)
共通テスト数学ⅠA｜数と式
11 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=1~,~2\)
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-1~,~3{\small ~≦~}x\)
\({\small (3)}~\)\(-2 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(|\, 2x-3 \,|=1\) の絶対値を外して表すと、
\(2x-3=\pm 1\)
\(2x-3=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2x&=&1+3\\[3pt]~~~2x&=&4\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
\(2x-3=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2x&=&-1+3\\[3pt]~~~2x&=&2\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=1~,~2\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\, x-1 \,|{\small ~≧~}2\) の絶対値を外して表すと、
\(x-1{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x-1\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&{\small ~≦~}&-2\\[3pt]~~~x&{\small ~≦~}&-2+1\\[3pt]~~~x&{\small ~≦~}&-1\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~2&{\small ~≦~}&x-1\\[3pt]~~~-x&{\small ~≦~}&-1-2\\[3pt]~~~-x&{\small ~≦~}&-3\end{eqnarray}\)
両辺を \(-1\) で割ると不等号の向きが変わるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-x\,}{\,-1\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,-1\,}\\[5pt]~~~x&{\small ~≧~}&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(x{\small ~≦~}-1~,~3{\small ~≦~}x\) となる
\({\small (3)}~\)\(|\, 3x+1 \,| \lt 5\) の絶対値を外して表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~-5 &\lt& 3x+1 \lt 5\\[3pt]~~~-5-1 &\lt& 3x \lt 5-1\\[3pt]~~~-6 &\lt& 3x \lt 4\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,-6\,}{\,3\,} &\lt& \displaystyle \frac{\,3x\,}{\,3\,} \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~-2 &\lt& x \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(-2 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
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