数学Ⅰ｜数と式｜問題一覧 ＞ 問題解説 07
07｜整数部分と小数部分
07
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。
\({\small (1)}~\)\(a=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(b=\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)\(b^2+4b+4=\fbox{エ}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。
\({\small (1)}~\)\(a=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(b=\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-\fbox{ウ}\)
\({\small (3)}~\)\(b^2+4b+4=\fbox{エ}\)
共通テスト数学ⅠA｜数と式
07 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(a=4\)
\({\small (2)}~\)\(b=\sqrt{5}-2\)
\({\small (3)}~\)\(b^2+4b+4=5\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{5} \lt 3
\\[3pt]~~~2+2 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 3+2
\\[3pt]~~~4 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 5\end{eqnarray}\)
これより、整数部分は \(a=4\)
\({\small (2)}~\)小数部分の \(b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(\sqrt{5}+2)-4
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}-2\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(b^2+4b+4\) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&b^2+4b+4
\\[3pt]~~~&=&(b+2)^2\end{eqnarray}\)
\(b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sqrt{5}-2+2)^2
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5})^2
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
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