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04｜因数分解の応用
04
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(a^4-81b^4\)
\(~=(a^2+\fbox{ア}\,b^2)(a+\fbox{イ}\,b)(a-\fbox{ウ}\,b)\)
\({\small (2)}~\)\(x^2+xy-y-1\)
\(~=(x-\fbox{エ})(x+y+\fbox{オ})\)
\({\small (3)}~\)\(x^2-6x+9-y^2\)
\(~=(x+y-\fbox{カ})(x-y-\fbox{キ})\)
\({\small (4)}~\)\(2x^2+5xy+2y^2-7x-5y+3\)
\(~=(x+\fbox{ク}\,y-\fbox{ケ})(\fbox{コ}\,x+y-\fbox{サ})\)
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(a^4-81b^4\)
\(~=(a^2+\fbox{ア}\,b^2)(a+\fbox{イ}\,b)(a-\fbox{ウ}\,b)\)
\({\small (2)}~\)\(x^2+xy-y-1\)
\(~=(x-\fbox{エ})(x+y+\fbox{オ})\)
\({\small (3)}~\)\(x^2-6x+9-y^2\)
\(~=(x+y-\fbox{カ})(x-y-\fbox{キ})\)
\({\small (4)}~\)\(2x^2+5xy+2y^2-7x-5y+3\)
\(~=(x+\fbox{ク}\,y-\fbox{ケ})(\fbox{コ}\,x+y-\fbox{サ})\)
共通テスト数学ⅠA｜数と式
04 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\((a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b)\)
\({\small (2)}~\)\((x-1)(x+y+1)\)
\({\small (3)}~\)\((x+y-3)(x-y-3)\)
\({\small (4)}~\)\((x+2y-3)(2x+y-1)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(a^2=A~,~\)\(9b^2=B\) とおき、因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a^4-81b^4\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2-(9b^2)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-B^2\\[3pt]~~~&=&(A+B)(A-B)\end{eqnarray}\)
\(A=a^2~,~\)\(B=9b^2\) と元に戻し、さらに因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)\\[3pt]~~~&=&(a^2+9b^2)\left\{\,a^2-(3b)^2\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b)\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(x\) については2次式、\(y\) については1次式であるので、\(y\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+xy-y-1\\[3pt]~~~&=&xy-y+x^2-1\\[3pt]~~~&=&(x-1)y+(x^2-1)\end{eqnarray}\)
部分的な因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)y+(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)\left\{\,y+(x+1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x+y+1)\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(x\) と \(y\) に分けて、部分的な因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-6x+9-y^2\\[3pt]~~~&=&(x^2-6x+9)-y^2\\[3pt]~~~&=&(x-3)^2-y^2\end{eqnarray}\)
全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x-3)+y\,\right\}\left\{\,(x-3)-y\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+y-3)(x-y-3)\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)\(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2+5xy+2y^2-7x-5y+3\\[3pt]~~~&=&2x^2+(5xy-7x)+(2y^2-5y+3)\\[3pt]~~~&=&2x^2+(5y-7)x+(2y^2-5y+3)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2y^2-5y+3\) を部分的な因数分解をすると、たすき掛けの表より、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-3~&~-3\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&-1~&~-2\\[2pt]
\hline
&&&-5
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2x^2+(5y-7)x+(2y-3)(y-1)\end{eqnarray}\)
全体的な因数分解を考え、文字式のたすき掛けをすると、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~1&&2y-3~&~4y-6\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~2&&y-1~&~y-1\\[2pt]
\hline
&&&5y-7
\end{array}\)
この表より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,x+(2y-3)\,\right\}\left\{\,2x+(y-1)\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x+2y-3)(2x+y-1)\end{eqnarray}\)
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