数学Ⅰ｜数と式｜問題一覧 ＞ 問題解説 05
05｜絶対値の計算
05
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\sqrt{3}-2\,|=\fbox{ア}-\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,a+3\,|+|\,a-1\,|\) について、
\(-3\lt a\lt 1\) のとき、\(\fbox{ウ}\) となる。
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\sqrt{\,(x-\fbox{エ})^2\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) である。
\(x{\small ~≧~}2\) のとき、\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\)
\(x \lt 2\) のとき、\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) の選択肢：
⓪ \(x-2\) ① \(2-x\)
② \(|\,x-2\,|\) ③ \(\pm(x-2)\)
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\sqrt{3}-2\,|=\fbox{ア}-\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,a+3\,|+|\,a-1\,|\) について、
\(-3\lt a\lt 1\) のとき、\(\fbox{ウ}\) となる。
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\sqrt{\,(x-\fbox{エ})^2\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) である。
\(x{\small ~≧~}2\) のとき、\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\)
\(x \lt 2\) のとき、\(\sqrt{\,x^2-4x+4\,}=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) の選択肢：
⓪ \(x-2\) ① \(2-x\)
② \(|\,x-2\,|\) ③ \(\pm(x-2)\)
共通テスト数学ⅠA｜数と式
05 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(2-\sqrt{3}\)
\({\small (2)}~\)\(4\)
\({\small (3)}~\)\(\sqrt{\,(x-2)^2\,}=|\,x-2\,|\)（オ：②）
\(\phantom{{\small (3)}}~\)\(x{\small ~≧~}2\) のとき \(x-2\)（カ：⓪）、
\(\phantom{{\small (3)}}~\)\(x \lt 2\) のとき \(2-x\)（キ：①）
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{3}=1.7320\cdots\) より、\(\sqrt{3}-2 \lt 0\) となり、絶対値をマイナスをつけて外すと、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\sqrt{3}-2\,|&=&-(\sqrt{3}-2)\\[3pt]~~~&=&2-\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,a+3\,|\) は \(a=-3\) の前後で、\(|\,a-1\,|\) は \(a=1\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\(-3\lt a\lt 1\) のとき、
\(|\,a+3\,|=a+3~,~|\,a-1\,|=-(a-1)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,a+3\,|+|\,a-1\,|&=&(a+3)-(a-1)\\[3pt]~~~&=&a+3-a+1\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)平方根の中を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,x^2-4x+4\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-2)^2\,}\\[3pt]~~~&=&|\,x-2\,|\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,A^2\,}=A\) ではなく、\(\sqrt{\,A^2\,}=|\,A\,|\) となる。
例えば、\(A=-3\) のとき、\(\sqrt{\,(-3)^2\,}=\sqrt{\,9\,}=3=|\,-3\,|\) である。
したがって、オは ②
\(x{\small ~≧~}2\) のとき、すなわち \(x-2{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,x-2\,|=x-2\)
したがって、カは ⓪
\(x \lt 2\) のとき、すなわち \(x-2 \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x-2\,|&=&-(x-2)\\[3pt]~~~&=&-x+2\\[3pt]~~~&=&2-x\end{eqnarray}\)
したがって、キは ①
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