数学Ⅰ｜数と式｜問題一覧 ＞ 問題解説 02
02｜式の展開の応用
02
次の式を展開せよ。
\({\small (2)}~\)\((x+1)^2(x-1)^2\)\(=x^4-\fbox{キ}\,x^2+\fbox{ク}\)
\({\small (3)}~\)\((x^2+9)(x+3)(x-3)\)\(=x^4-\fbox{ケコ}\)
次の式を展開せよ。
\({\small (1)}~\)\((x-2y+3z)^2\)
\(~=x^2+\fbox{ア}\,y^2+\fbox{イ}\,z^2-\fbox{ウ}\,xy-\fbox{エオ}\,yz+\fbox{カ}\,zx\)
\(~=x^2+\fbox{ア}\,y^2+\fbox{イ}\,z^2-\fbox{ウ}\,xy-\fbox{エオ}\,yz+\fbox{カ}\,zx\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)\((x+1)^2(x-1)^2\)\(=x^4-\fbox{キ}\,x^2+\fbox{ク}\)
\({\small (3)}~\)\((x^2+9)(x+3)(x-3)\)\(=x^4-\fbox{ケコ}\)
\({\small (4)}~\)\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\)
\(~=x^4+\fbox{サシ}\,x^3+\fbox{スセ}\,x^2+\fbox{ソタ}\,x+\fbox{チツ}\)
\(~=x^4+\fbox{サシ}\,x^3+\fbox{スセ}\,x^2+\fbox{ソタ}\,x+\fbox{チツ}\)
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共通テスト数学ⅠA｜数と式
02 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\)
\({\small (2)}~\)\(x^4-2x^2+1\)
\({\small (3)}~\)\(x^4-81\)
\({\small (4)}~\)\(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2y+3z)^2\end{eqnarray}\)
\(x-2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 3z+(3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+6zA+9z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
【別解】 公式を用いると、
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-1)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-1)+(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2+9)(x+3)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-3^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-9)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-9^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-81\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x+4)\,\right\}\left\{\,(x+2)(x+3)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\end{eqnarray}\)
\(x^2+5x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+4)(A+6)
\\[3pt]~~~&=&A^2+10A+24\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+5x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\({\small (1)}~\)\(x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\)
\({\small (2)}~\)\(x^4-2x^2+1\)
\({\small (3)}~\)\(x^4-81\)
\({\small (4)}~\)\(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2y+3z)^2\end{eqnarray}\)
\(x-2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 3z+(3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+6zA+9z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2y)^2+6z(x-2y)+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+(-2y)^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2y+3z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-2y)^2+(3z)^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+2 \cdot (-2y) \cdot 3z+2 \cdot 3z \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-1)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-1)+(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2+9)(x+3)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-3^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-9)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-9^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-81\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x+4)\,\right\}\left\{\,(x+2)(x+3)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\end{eqnarray}\)
\(x^2+5x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+4)(A+6)
\\[3pt]~~~&=&A^2+10A+24\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+5x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 5x+(5x)^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+35x^2+50x+24\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 5x+(5x)^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+35x^2+50x+24\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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