数学Ⅰ｜数と式｜問題一覧 ＞ 問題解説 06
06｜平方根の計算
06
次の式を簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=\fbox{ア}\,\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\((\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2=\fbox{ウエ}-\fbox{オカ}\,\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\)
次の式を簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=\fbox{ア}\,\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\((\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2=\fbox{ウエ}-\fbox{オカ}\,\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{3}\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}+\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,}{\,\fbox{コ}\,}\)
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共通テスト数学ⅠA｜数と式
06 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)\(18-12\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)根号の中を整理し、\(\sqrt{2}\) の係数を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2 {\, \small \times \,} 2\,}-\sqrt{\,3^2 {\, \small \times \,} 2\,}+\sqrt{\,2^2 {\, \small \times \,} 2\,}\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{\,2\,}-3\sqrt{\,2\,}+2\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&(5-3+2)\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)展開の公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) で \(a=\sqrt{6}~,~b=-2\sqrt{3}\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{6})^2+2 \cdot \sqrt{6} \cdot (-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,6 {\, \small \times \,} 3\,}+4(\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,18\,}+4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&6-4 \cdot 3\sqrt{\,2\,}+12\\[3pt]~~~&=&(6+12)-12\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&18-12\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)それぞれの分数を有理化すると、
\({\small (1)}~\)\(4\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)\(18-12\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)根号の中を整理し、\(\sqrt{2}\) の係数を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2 {\, \small \times \,} 2\,}-\sqrt{\,3^2 {\, \small \times \,} 2\,}+\sqrt{\,2^2 {\, \small \times \,} 2\,}\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{\,2\,}-3\sqrt{\,2\,}+2\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&(5-3+2)\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)展開の公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) で \(a=\sqrt{6}~,~b=-2\sqrt{3}\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{6})^2+2 \cdot \sqrt{6} \cdot (-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,6 {\, \small \times \,} 3\,}+4(\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,18\,}+4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&6-4 \cdot 3\sqrt{\,2\,}+12\\[3pt]~~~&=&(6+12)-12\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&18-12\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)それぞれの分数を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}+1)\,}{\,(\sqrt{3}+1)\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{5}-\sqrt{3})\,}{\,(\sqrt{5}-\sqrt{3})\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,(\sqrt{3})^2-1^2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,3-1\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,5-3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1+\sqrt{5}-\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{5}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
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