このページは、数研出版：新編数学Ｂ[712]
第１章 数列
第１章 数列
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第１章 数列
第１節 等差数列と等比数列
p.9 練習2\({\small (1)}~a_1=1~,~a_2=3~,~a_3=5~,~a_4=7\)
\({\small (2)}~a_1=2~,~a_2=6~,~a_3=12~,~a_4=20\)
\({\small (3)}~a_1=2~,~a_2=4~,~a_3=8~,~a_4=16\)
\({\small (2)}~a_1=2~,~a_2=6~,~a_3=12~,~a_4=20\)
\({\small (3)}~a_1=2~,~a_2=4~,~a_3=8~,~a_4=16\)
p.10 練習5\({\small (1)}~\)公差が \(4\)、□は \(13~,~17\)
\({\small (2)}~\)公差が \(-3\)、□は \(8~,~-1~,~-4\)
\({\small (2)}~\)公差が \(-3\)、□は \(8~,~-1~,~-4\)
p.11 練習6\({\small (1)}~a_n=4n+1~,~a_{10}=41\)
\({\small (2)}~a_n=-5n+15~,~a_{10}=-35\)
\({\small (2)}~a_n=-5n+15~,~a_{10}=-35\)
p.15 練習14\({\small (1)}~210\) \({\small (2)}~5050\)
\({\small (3)}~225\) \({\small (4)}~784\)
\({\small (3)}~225\) \({\small (4)}~784\)
p.16 練習16\({\small (1)}~1~,~3~,~9~,~27\)
\({\small (2)}~3~,~-6~,~12~,~-24\)
\({\small (3)}~1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)
\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\)
\({\small (2)}~3~,~-6~,~12~,~-24\)
\({\small (3)}~1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)
\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\)
p.78 練習17\({\small (1)}~\)公比が \(2\)、□は \(8\)
\({\small (2)}~\)公比が \(-2\)、□は \(-8\)
\({\small (3)}~\)公比が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、□は \(16~,~2\)
\({\small (4)}~\)公比が \(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)、□は \(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)公比が \(-2\)、□は \(-8\)
\({\small (3)}~\)公比が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、□は \(16~,~2\)
\({\small (4)}~\)公比が \(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)、□は \(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
p.17 練習18\({\small (1)}~a_n=2\cdot3^{n-1}~,~a_5=162\)
\({\small (2)}~a_n=(-3)^{n-1}~,~a_5=81\)
\({\small (3)}~a_n=2^n~,~a_5=32\)
\({\small (4)}~a_n=-3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}~,~a_5=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\)
\({\small (2)}~a_n=(-3)^{n-1}~,~a_5=81\)
\({\small (3)}~a_n=2^n~,~a_5=32\)
\({\small (4)}~a_n=-3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}~,~a_5=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\)
p.17 練習19\({\small (1)}~a_n=(-2)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\)
\({\small (3)}~a_n=5\cdot(-1)^{n-1}\)
\({\small (4)}~a_n=(\sqrt{2})^n\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n\)
\({\small (3)}~a_n=5\cdot(-1)^{n-1}\)
\({\small (4)}~a_n=(\sqrt{2})^n\)
p.17 深める\({\small (1)}~a_n=2n+1\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)
p.18 練習20\({\small (1)}~a_n=2\cdot3^{n-1}\)
または \(a_n=-2\cdot(-3)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=-(\sqrt{3})^{n-1}\)
または \(a_n=-(-\sqrt{3})^{n-1}\)
または \(a_n=-2\cdot(-3)^{n-1}\)
\({\small (2)}~a_n=-(\sqrt{3})^{n-1}\)
または \(a_n=-(-\sqrt{3})^{n-1}\)
p.20 練習22\({\small (1)}~2^n-1\)
\({\small (2)}~3\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^n\,}\right)\)
\({\small (3)}~1-(-2)^n\)
\({\small (2)}~3\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^n\,}\right)\)
\({\small (3)}~1-(-2)^n\)
補充問題
第２節 いろいろな数列
p.24 練習25\({\small (1)}~1+3+5+\cdots+(2n-1)\)
\({\small (2)}~2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\)
\({\small (3)}~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n-1\,}\)
\({\small (2)}~2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\)
\({\small (3)}~1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n-1\,}\)
p.25 練習27\({\small (1)}~30\) \({\small (2)}~300\)
\({\small (3)}~1275\) \({\small (4)}~140\)
\({\small (5)}~650\)
\({\small (3)}~1275\) \({\small (4)}~140\)
\({\small (5)}~650\)
p.26 練習28\({\small (1)}~n(n+2)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(3n-7)\)
\({\small (3)}~2n(n-1)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(3n-7)\)
\({\small (3)}~2n(n-1)\)
p.26 深める初項 \(7\)、末項 \(4n+3\)、項数 \(n\) の等差数列の和より、
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(7+4n+3)=n(2n+5)\)
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(7+4n+3)=n(2n+5)\)
p.27 練習29\({\small (1)}~n(n-1)^2\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n-1)(n-2)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(n-1)(n-2)\)
p.27 練習30\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}n(n+1)(2n+1)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)\)
p.27 練習31\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5^n-1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}\)
p.30 練習33\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n+1\)
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}+1\)
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}+1\)
補充問題
p.34 補充問題 5[証明]
恒等式 \(k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1\) において、
\(k=1\) のとき、
\(1^4-0^2=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1\)
\(k=2\) のとき、
\(2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1\)
\(k=3\) のとき、
\(3^4-2^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1\)
…
\(k=n\) のとき、
\(n^4-(n-1)^4\)
\(=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1\)
これらの両辺を加えていくと、
\(n^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)\)
\(-6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\)
\(+4(1+2+3+\cdots+n)+n\)
ここで、\(S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\) として和の計算をすると、
\(n^4\)
\(=4S-n(n+1)(2n+1)\)
\(+2n(n+1)-n\)
\(S\) について整理すると、
\(4S=\{n(n+1)\}^2\)
よって、
\(S=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}\)
したがって、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}\) [終]
恒等式 \(k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1\) において、
\(k=1\) のとき、
\(1^4-0^2=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1\)
\(k=2\) のとき、
\(2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1\)
\(k=3\) のとき、
\(3^4-2^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1\)
…
\(k=n\) のとき、
\(n^4-(n-1)^4\)
\(=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1\)
これらの両辺を加えていくと、
\(n^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)\)
\(-6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\)
\(+4(1+2+3+\cdots+n)+n\)
ここで、\(S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\) として和の計算をすると、
\(n^4\)
\(=4S-n(n+1)(2n+1)\)
\(+2n(n+1)-n\)
\(S\) について整理すると、
\(4S=\{n(n+1)\}^2\)
よって、
\(S=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}\)
したがって、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(=\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}\) [終]
p.34 補充問題 7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)
\({\small (2)}~\sqrt{n+1}-1\)
\({\small (2)}~\sqrt{n+1}-1\)
第３節 漸化式と数学的帰納法
p.35 練習38\({\small (1)}~a_2=95~,~a_3=90~,~a_4=85~,~a_5=80\)
\({\small (2)}~a_2=6~,~a_3=18~,~a_4=54~,~a_5=162\)
\({\small (3)}~a_2=8~,~a_3=26~,~a_4=80~,~a_5=242\)
\({\small (4)}~a_2=2~,~a_3=4~,~a_4=7~,~a_5=11\)
\({\small (2)}~a_2=6~,~a_3=18~,~a_4=54~,~a_5=162\)
\({\small (3)}~a_2=8~,~a_3=26~,~a_4=80~,~a_5=242\)
\({\small (4)}~a_2=2~,~a_3=4~,~a_4=7~,~a_5=11\)
p.36 練習40\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~a_n=n^2-1\)
p.38 練習42\({\small (1)}~a_n=3\cdot4^{n-1}+2\)
\({\small (2)}~a_n=2^n-1\)
\({\small (3)}~a_n=(-2)^{n-1}+1\)
\({\small (4)}~a_n=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+2\)
\({\small (2)}~a_n=2^n-1\)
\({\small (3)}~a_n=(-2)^{n-1}+1\)
\({\small (4)}~a_n=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+2\)
p.41 練習43① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(1^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(1^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2k-1)+\{\,2(k+1)-1\,\}
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.42 練習44[証明] \(n{\small ~≧~}3\) のすべての自然数 \(n\) について、
\(2^n\gt 2n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=3\) のとき、
左辺 \(=2^3=8\)、右辺 \(=2\cdot 3+1=7\)
よって、\(n=3\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(2^k\gt 2k+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{k+1}-\{2(k+1)+1\}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(2k+3)\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(2^k\gt 2k+1\) であるから
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{k+1}-\{2(k+1)+1\}&\gt&0
\\[3pt]~~~2^{k+1}&\gt&2(k+1)+1
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
\(2^n\gt 2n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=3\) のとき、
左辺 \(=2^3=8\)、右辺 \(=2\cdot 3+1=7\)
よって、\(n=3\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(2^k\gt 2k+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{k+1}-\{2(k+1)+1\}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(2k+3)\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、\(2^k\gt 2k+1\) であるから
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot \underline{2^k}-(2k+3)&\gt &2\cdot \underline{(2k+1)}-(2k+3)
\\[3pt]~~~&=&4k+2-2k-3
\\[3pt]~~~&=&2k-1\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}3\,)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4k+2-2k-3
\\[3pt]~~~&=&2k-1\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ k{\small ~≧~}3\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{k+1}-\{2(k+1)+1\}&\gt&0
\\[3pt]~~~2^{k+1}&\gt&2(k+1)+1
\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.43 練習45[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(5^n-1\) が \(4\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(5^1-1=4\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~5^k-1&=&4m
\\[3pt]~5^k&=&4m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~&&5^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&5^1\cdot 5^k-1
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m+5-1
\\[3pt]~~~&=&20m+4
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(5m+1\) は整数より、\(5^{k+1}-1\) は \(4\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(5^n-1\) が \(4\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(5^1-1=4\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~5^k-1&=&4m
\\[3pt]~5^k&=&4m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&5^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&5^1\cdot 5^k-1
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m+5-1
\\[3pt]~~~&=&20m+4
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(5m+1\) は整数より、\(5^{k+1}-1\) は \(4\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.44 研究 練習1① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
よって、すべての整数は、整数 \(k\) を用いて
\(3k~,~~3k+1~,~~3k+2\)
のいずれかの形に表される。
\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k)^3-3k
\\[3pt]~~~&=&108k^3-3k
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3-k\right)
\end{eqnarray}\)
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] 整数を \(3\) で割ったときの余りは、\(0~,~1~,~2\) のいずれかである。
よって、すべての整数は、整数 \(k\) を用いて
\(3k~,~~3k+1~,~~3k+2\)
のいずれかの形に表される。
\({\small [\,1\,]}~\) \(n=3k\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k)^3-3k
\\[3pt]~~~&=&108k^3-3k
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3-k\right)
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(n=3k+1\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k+1)^3-(3k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+27k^2+9k+1\right)-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+36k+4-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+33k+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+36k^2+11k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+27k^2+9k+1\right)-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+36k+4-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+33k+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+36k^2+11k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~\) \(n=3k+2\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k+2)^3-(3k+2)
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+54k^2+36k+8\right)-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+144k+32-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+141k+30
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+72k^2+47k+10\right)
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+54k^2+36k+8\right)-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+144k+32-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+141k+30
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+72k^2+47k+10\right)
\end{eqnarray}\)
よって、いずれの場合も、\(4n^3-n\) は \(3\) の倍数である。[終]
補充問題
p.45 補充問題 9\({\small (1)}~\)\(a_n=\displaystyle\frac{\,n^3-n+6\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle\frac{\,3+(-1)^n\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~a_n=\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+1\)
\({\small (2)}~a_n=\displaystyle\frac{\,3+(-1)^n\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~a_n=\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+1\)
p.45 補充問題 10初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_1\,}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_2\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_3\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2k+2-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+2\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(k+1)+1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_1\,}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_2\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_3\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2k+2-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+2\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(k+1)+1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\)
章末問題 数列
p.46 章末問題A 5 第 \(k\) 項 \(k^2\)
和 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(2n+1)\)
和 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n(n+1)(2n+1)\)
p.46 章末問題A 7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,n(3n+5)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,n(3n+5)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}\)
p.46 章末問題A 8[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(2^{2n-1}+3^{2n-1}\) が \(5\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(2^{2\cdot 1-1}+3^{2\cdot 1-1}=2^1+3^1=5\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2k-1}+3^{2k-1}&=&5m
\\[3pt]~2^{2k-1}&=&5m-3^{2k-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~&&2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{2k+1}+3^{2k+1}
\\[3pt]~~~&=&2^2\cdot 2^{2k-1}+3^2\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 2^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m-3^{2k-1}\right)+9\cdot 3^{2k-1} \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m-4\cdot 3^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&20m+5\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+3^{2k-1}\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+3^{2k-1}\) は整数より、\(2^{2k+1}+3^{2k+1}\) は \(5\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\(2^{2n-1}+3^{2n-1}\) が \(5\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(2^{2\cdot 1-1}+3^{2\cdot 1-1}=2^1+3^1=5\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2k-1}+3^{2k-1}&=&5m
\\[3pt]~2^{2k-1}&=&5m-3^{2k-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{2k+1}+3^{2k+1}
\\[3pt]~~~&=&2^2\cdot 2^{2k-1}+3^2\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 2^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m-3^{2k-1}\right)+9\cdot 3^{2k-1} \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m-4\cdot 3^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&20m+5\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+3^{2k-1}\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+3^{2k-1}\) は整数より、\(2^{2k+1}+3^{2k+1}\) は \(5\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
p.47 章末問題B 9\({\small (1)}~\)第 \(48\) 項 \({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,14\,}\)
p.47 章末問題B 10\({\small (1)}~k\,(n-k+1)\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} n(n+1)(n+2)\)
p.47 章末問題B 11\({\small (1)}~\)\( S_n=2a_n-1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=2a_1-1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2a_1-1
\\[5pt]~~~-a_1&=&-1
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(S_{n+1}=2a_{n+1}-1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&2a_{n+1}-1 \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&2a_n-1\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&2a_{n+1}-2a_n
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&2a_{n+1}-2a_n
\\[5pt]~~~-a_{n+1}&=&-2a_n
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\( n=1 \) のとき、
\( S_1=2a_1-1 \)
ここで、\(S_1=a_1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2a_1-1
\\[5pt]~~~-a_1&=&-1
\\[5pt]~~~~~~a_1&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\small [\,1\,]\) より、\( n\to n+1 \) と書き換えると、
\(S_{n+1}=2a_{n+1}-1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
~S_{n+1}&=&2a_{n+1}-1 \\
~-\big{)}~~~~~~~~~~~~S_n&=&2a_n-1\\
\hline S_{n+1}-S_{n}&=&2a_{n+1}-2a_n
\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&2a_{n+1}-2a_n
\\[5pt]~~~-a_{n+1}&=&-2a_n
\\[5pt]~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(a_{n+1}=2a_n\) である
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}\)
p.47 章末問題B 12\({\small (1)}~124\,\mathrm{mg}\)
\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100\)
\({\small (3)}~a_n=125-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-3}\)
\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100\)
\({\small (3)}~a_n=125-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-3}\)
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