【新課程】東京書籍：Advanced数学Ⅱ[701]

p.64 問1$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~6$$$${\small (3)}~3$$

p.65 問2$${\small (1)}~3\sqrt{5}$$$${\small (2)}~5\sqrt{2}$$$${\small (3)}~5$$$${\small (4)}~17$$→ 平面上の線分の長さ

p.65 問3\({\small (1)}~\angle{\rm B}=90^\circ\) で \({\rm AB=BC}\) の直角二等辺三角形
\({\small (2)}~\)正三角形
→ 平面上の三角形の形状

p.65 問4$$~~~{\rm Q}(0~,~5)$$→ 線分の長さの条件

p.66 問5

p.66 問6$${\small (1)}~{\rm M}(1)$$$${\small (2)}~{\rm P}(-2)$$$${\small (3)}~{\rm Q}(4)$$

p.67 問7

→ 直線上の線分の長さ・内分点・外分点

p.67 問8$${\small (1)}~{\rm P}(19)$$$${\small (2)}~{\rm Q}(-11)$$

p.69 問9\({\small (1)}~\)$$~~~{\rm P}\left(4~,~{ \frac{\,21\,}{5}}\right)~,~{\rm Q}(16~,~9)~,~{\rm M}\left({ \frac{\,7\,}{2}}~,~4\right)$$\({\small (2)}~\)$$~~~{\rm P}\left({ \frac{\,8\,}{5}}~,~{ \frac{3}{\,5\,}}\right)~,~{\rm Q}(16~,~-9)~,~{\rm M}(1~,~1)$$→ 平面上の内分点・外分点・重心

p.69 問10$${\small (1)}~{\rm M}(1~,~1)$$$${\small (2)}~{\rm D}(-3~,~4)$$→ 平行四辺形を作る点の座標

p.70 問11$$~~~{\rm G}\left(2,-{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)$$→ 平面上の内分点・外分点・重心

p.71 問12

p.72 問13$${\small (1)}~y=2x+10$$$${\small (2)}~y=-{ \frac{1}{\,3\,}}x+3$$→ 直線の方程式

p.73 問14$${\small (1)}~y=3x-9$$$${\small (2)}~y=-{ \frac{2}{\,3\,}}x+3$$$${\small (3)}~x=-2$$$${\small (4)}~y=7$$→ ２点を通る直線の方程式

p.73 問15$${\small (1)}~y=-{ \frac{1}{\,3\,}}x+{ \frac{\,16\,}{3}}$$$${\small (2)}~a=1$$

p.73 問16$$~~~2x-3y-6=0$$

p.75 問17　互いに平行：①と④
　互いに垂直：②と③

p.75 問18　平行 \(2x-5y-11=0\)
　垂直 \(5x+2y-13=0\)
→ 平行な直線と垂直な直線

p.75 問19$$~~~a=1$$

p.76 問20$$~~~(-2~,~2)$$→ 直線に対して対称な点

p.77 問21$${\small (1)}~(-1~,~2)$$$${\small (2)}~\left({ \frac{\,4\,}{3}}~,~-2\right)$$

p.77 問22$$~~~m={ \frac{\,5\,}{4}}$$→ ３直線が１点で交わる

p.78 問23$$~~~\left(\frac{\,20\,}{\,13\,}~,~\frac{\,29\,}{\,13\,}\right)~,~16x-7y-9=0$$→ ２直線の交点を通る直線

p.80 問24$${\small (1)}~{ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{5}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,5\sqrt{13}\,}{13}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,7\sqrt{10}\,}{5}}$$→ 点と直線との距離

p.80 問25[証明] 座標平面上に４点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
　\({\rm A}(a~,~b)\)　\({\rm B}(-c~,~0)\)
　\({\rm C}(2c~,~0)\)　\({\rm D}(0~,~0)\)
このとき、
　\({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
　　　　\(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
　\({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
　　　　\(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
　　\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
　\(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
　\({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
　\({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
　　\({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
　\(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
　\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
→ 座標を利用した等式の証明

p.81 問26[証明] 座標平面上に３点を
　\({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(-c~,~0)~,~{\rm C}(c~,~0)\)
とすると、
直線 \({\rm AB}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a+c}}\) で、辺 \({\rm AB}\) の中点が \(\left({\large \frac{a-c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a+c}{b}\left(x-\frac{a-c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a+c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを①とする
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a-c}}\) で、辺 \({\rm AC}\) の中点が \(\left({\large \frac{a+c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a-c}{b}\left(x-\frac{a+c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a-c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを②とする
①と②を連立すると、交点は$$~~~\left(0~,~\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)$$これは、\(y\) 軸上のの点で辺 \({\rm BC}\) 上にある
したがって、三角形の３辺の垂直二等分線は、１点で交わる [終]

p.82 問題 5[証明]
それぞれの直線の傾きは、
　\(-{\large \frac{a_1}{b_1}}~,~-{\large \frac{a_2}{b_2}}\)
これより、２直線が平行となるので、
　\(-{\large \frac{a1}{b_1}}=-{\large \frac{a_2}{b_2}}\)
式変形すると、
　\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、
２直線が平行\(~~\Leftrightarrow~~a_1b_2-a_2b_1=0\)

また、２直線が垂直となるので、
　\(\left(-{\large \frac{a_1}{b_1}}\right)\left(-{\large \frac{a_2}{b_2}}\right)=-1\)
式変形すると、
　\(a_1a_2+b_1b_2=0\)
したがって、
２直線が垂直\(~~\Leftrightarrow~~a_1a_2+b_1b_2=0\)
[終]

p.83 問1$$~~~(x-2)^2+(y+1)^2=3$$→ 円の方程式

p.83 問2$$~~~(x+2)^2+(y-3)^2=13$$

p.83 問3$${\small (1)}~(3~,~1)$$$${\small (2)}~(x-3)^2+(y-1)^2=25$$→ 円の方程式の決定①（点の条件）

p.84 問4\({\small (1)}~\)中心 \((3~,~-2)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((0~,~-{\large \frac{\,5\,}{2}})\)、半径 \({\large \frac{\sqrt{\,17\,}}{2}}\) の円
\({\small (3)}~\)点 \((-2~,~5)\)
→ 円の方程式

p.84 問5$$~~~n<{ \frac{\,5\,}{2}}$$→ 円の方程式を表す条件

p.85 問6$${\small (1)}~x^2+y^2-8x+2y+4=0$$\({\small (2)}~\)外心 \((4~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{13}\)
→ 円の方程式の決定①（点の条件）

p.86 問7$${\small (1)}~(1~,~3)~,~(3~,~-1)$$$${\small (2)}~(-1~,~3)$$→ 円と直線との共有点

p.87 問8\({\small (1)}~\)共有点２個
\({\small (2)}~\)共有点１個
\({\small (3)}~\)共有点なし

p.88 問9$$~~~k<-2\sqrt{10}~,~2\sqrt{10}<k$$

p.89 問10$$~~~k=\pm15$$→ 円と直線との位置関係

p.89 問11$$~~~l=2\sqrt{3}$$→ 円によって切り取られる線分

p.91 問12$${\small (1)}~3x+4y=25$$$${\small (2)}~x-2\sqrt{2}y=-9$$$${\small (3)}~y=4$$$${\small (4)}~x=-\sqrt{10}$$

p.91 問13$$~~~x+7y=50~,~x-y=10$$→ 円の接線の方程式

p.92 問14$$~~~(x-3)^2+(y-4)^2=16$$→ ２つの円の位置関係

p.93 問15$$~~~(1~,~-2)~,~(2~,~1)$$→ ２つの円の共有点の座標

p.95 問16$$~~~x^2+y^2-x+{ \frac{1}{\,3\,}}y-{ \frac{\,10\,}{3}}=0$$→ ２つの円の交点を通る円・直線

p.98 問1直線 \(x=-2\)

p.98 問2中心が\((7,0)\)、半径 \(6\) の円

p.99 問3中心が\(\left({\large \frac{\,8\,}{3}},{\large \frac{\,8\,}{3}}\right)\)、半径 \({\large \frac{2}{\,3\,}}\) の円
→ 軌跡①

p.99 問4放物線 \(y=2x^2-8x+9\)
→ 軌跡②（動点を含む）

p.101 問5\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含まない

\({\small (4)}~\)境界線を含む

p.102 問6\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含まない

\({\small (4)}~\)境界線を含む

→ 不等式の表す領域

p.102 問7$${\small (1)}~x^2+y^2>5$$$${\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2≦13$$

p.103 問8境界線を含まない

p.103 問9第１象限$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x > 0 \\ y > 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$第２象限$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x < 0 \\ y > 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$第３象限$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x < 0 \\ y < 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$第４象限$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x > 0 \\ y < 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

p.103 問10境界線を含む

p.104 問11\({\small (1)}~\)境界線を含まない

\({\small (2)}~\)境界線を含む

→ 連立不等式の表す領域①

p.104 問12境界線を含む

→ 連立不等式の表す領域②（積の形）

p.105 問13\({\small (1)}~\)
[証明] \(x^2+y^2≦8\) の領域を \(P\)、\(x+y≦4\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになり、境界線を含む

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
　\(x^2+y^2≦8~\Rightarrow~x+y≦4\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)
[証明] \(x^2+y^2-6x-8y<0\) の領域を \(P\)、\(x>0\) または \(y>0\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
　\(x^2+y^2-6x-8y<0\)
　　　\(~\Rightarrow~x>0\) または \(y>0\)
[終]
→ 領域を用いた証明

p.106 問14　最大値 \(3~(x=1~,~y=2)\)
　最小値 \(0~(x=0~,~y=0)\)
→ 線形計画法

p.107 問題 20\({\small (1)}~\)境界線を含む

\({\small (2)}~\)境界線を含む

\({\small (3)}~\)境界線を含まない

\({\small (4)}~\)境界線を含まない

p.107 問題 21\({\small (1)}~\)
[証明] \(x^2+y^2-6x+8y+16<0\) の領域を \(P\)、\(x>0\) または \(y<0\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
　\(x^2+y^2-6x+8y+16<0\)
　　　\(~\Rightarrow~x>0\) または \(y<0\)
[終]
 
\({\small (2)}~\)
[証明] \(x^2+y^2+2x-4y≧15\) の領域を \(P\)、\(x^2+y^2≧5\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになり、境界線を含む

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
　\(x^2+y^2+2x-4y≧15\)
　　　\(~\Rightarrow~x^2+y^2≧5\)
[終]

p.109 参考 問1\({\small (1)}~\)境界線を含まない
\({\small (2)}~\)境界線を含む

p.109 参考 問2境界線を含まない

p.109 参考 問3境界線を含む

p.110 練習問題A 4座標平面上に４点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとる、
　\({\rm A}(0~,~0)\)　\({\rm B}(a~,~0)\)
　\({\rm C}(a~,~b)\)　\({\rm D}(0~,~b)\)
また、任意の点を \({\rm P}(x~,~y)\)
このとき、
　\({\rm PA}^2=x^2+y^2\)
　\({\rm PC}^2=(x-a)^2+(y-b)^2\)
よって、
　　\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2\)
　\(=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2\)
また、
　\({\rm PB}^2=(x-a)^2+y^2\)
　\({\rm PD}^2=x^2+(y-b)^2\)
よって、
　　\({\rm PB}^2+{\rm PD}^2\)
　\(=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2\)
したがって、
　\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\) [終]

p.111 練習問題B 10$${\small (1)}~\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$
$${\small (2)}~{ \frac{\,|x_1y_2-x_2y_1|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}}$$\({\small (3)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm OAB}\) の底辺を \({\rm OA}\)、高さを \({\rm AB}\) とする
(1)と(2)の解を用いると、
　　\(\triangle {\rm OAB}\)
　\(={\large \frac{1}{\,2\,}}\cdot{\rm OA}\cdot d\)
　\(={\large \frac{1}{\,2\,}}\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot{\large \frac{\,|x_1y_2-x_2y_1|\,}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
　\(={\large \frac{1}{\,2\,}}|x_1y_2-x_2y_1|\)
[終]

p.111 練習問題B 14境界線を含まない