このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅱ[701]
５章 微分と積分
５章 微分と積分
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
Advanced数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Advanced数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Advanced数学Ⅱ ３章 三角関数
Advanced数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Advanced数学Ⅱ ５章 微分と積分
５章 微分と積分
１節 微分係数と導関数
p.196 問8\(\begin{eqnarray}~~~&&f'(x)\\[2pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)^2+7-(x^2+7)\,}{\,h\,}\\[2pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,x^2+2xh+2h^2+7-x^2-7\,}{\,h\,}\\[2pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,2xh+h^2\,}{\,h\,}\\[2pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}(2x+h)\\[2pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜導関数の定義
解法のPoint｜導関数の定義
p.198 問13[証明]
(左辺)
\(=\{kf(x)+lg(x)\}’\)
\(=\{kf(x)\}’+\{lg(x)\}’\)
\(=kf'(x)+lg'(x)\)
したがって、
\(\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)\)
[終]
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
(左辺)
\(=\{kf(x)+lg(x)\}’\)
\(=\{kf(x)\}’+\{lg(x)\}’\)
\(=kf'(x)+lg'(x)\)
したがって、
\(\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)\)
[終]
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.199 問14\({\small (1)}~y’=-2\)
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=15x^2-8\)
\({\small (4)}~y’=x^2-x-3\)
\({\small (5)}~y’=-12x^2+12x+7\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=15x^2-8\)
\({\small (4)}~y’=x^2-x-3\)
\({\small (5)}~y’=-12x^2+12x+7\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.199 問15\({\small (1)}~y’=6x+14\)
\({\small (2)}~y’=8x+12\)
\({\small (3)}~y’=3x^2+4x+1\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-6x+3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=8x+12\)
\({\small (3)}~y’=3x^2+4x+1\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-6x+3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.200 問18\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dh\,}{\,dt\,}=10-10t\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dS\,}{\,dr\,}=2\pi r\)
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
問題
p.201 問題 2\(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの関数 \(y=f(x)\) の平均変化率
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
において、\(h\) を限りなく \(0\) に近付けたとき、この平均変化率がある値に限りなく近付くならば、その極限値を関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) における微分係数または変化率といい、\(f^{\prime}(a)\) で表す。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
解法のPoint｜微分係数の定義
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
において、\(h\) を限りなく \(0\) に近付けたとき、この平均変化率がある値に限りなく近付くならば、その極限値を関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) における微分係数または変化率といい、\(f^{\prime}(a)\) で表す。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
解法のPoint｜微分係数の定義
p.201 問題 4\({\small (1)}~y^{\prime}=50x-10\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=36x^2+16x-3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=36x^2+16x-3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.201 問題 6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,ds\,}{\,dt\,}=v-gt\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dV\,}{\,dr\,}=4\pi r^2\)
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dV\,}{\,dr\,}=4\pi r^2\)
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
p.201 問題 9\({\small (1)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^2\) を展開すると、
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^3\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^3 \cdot (x^3)^{\prime}+3a^2b \cdot (x^2)^{\prime}+3ab^2 \cdot (x)^{\prime}+(b^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.203 発展 問2\({\small (1)}~39\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~4\) \({\small (4)}~-1\)
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
p.203 発展 問3[証明] 導関数の定義より、
したがって、
\(~~~\left\{ f(x)+g(x) \right\}’=f'(x)+g'(x)\)[終]
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{ f(x)+g(x) \right\}’
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\{f(x+h)+g(x+h) \}-\{f(x)+g(x) \}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+~\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f'(x)+g'(x)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\{f(x+h)+g(x+h) \}-\{f(x)+g(x) \}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+~\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&f'(x)+g'(x)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(~~~\left\{ f(x)+g(x) \right\}’=f'(x)+g'(x)\)[終]
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
２節 導関数の応用
p.207 問4\({\small (1)}~\)\(x{\small ~≦~}0\) で減少
\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) で増加
\(x{\small ~≧~}4\) で減少
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で増加
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で減少
\(x{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で増加
解法のPoint｜導関数と関数の増減
\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\) で増加
\(x{\small ~≧~}4\) で減少
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で増加
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で減少
\(x{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で増加
解法のPoint｜導関数と関数の増減
p.209 問5\({\small (1)}~\)極大値なし
\(x=3\) で極小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\) \(x=-1\) で極大値 \(5\)
\(x=3\) で極小値 \(-27\)
解法のPoint｜導関数と3次関数のグラフ
\(x=3\) で極小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\) \(x=-1\) で極大値 \(5\)
\(x=3\) で極小値 \(-27\)
解法のPoint｜導関数と3次関数のグラフ
p.210 問7\(~~~f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\)
これより、\(f'(x){\small ~≧~}0\) となり、\(f(x)\) は常に増加する
したがって、\(f(x)\) は極値をもたない
解法のPoint｜導関数と3次関数のグラフ
これより、\(f'(x){\small ~≧~}0\) となり、\(f(x)\) は常に増加する
したがって、\(f(x)\) は極値をもたない
解法のPoint｜導関数と3次関数のグラフ
p.211 問8\({\small (1)}~\)\(x=-2\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)極大値なし
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)極大値なし
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.212 問9\(~~~a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~b=6\)
\(x=2\) で極大値 \(10\)、\(x=-1\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(x=2\) で極大値 \(10\)、\(x=-1\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.213 問10\({\small (1)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(3\)
\(x=-2\) で最小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)\(x=-2\) で最大値 \(43\)
\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,17\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
\(x=-2\) で最小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)\(x=-2\) で最大値 \(43\)
\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,17\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
p.217 問14[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+2)-3x\\[3pt]~~~&=&x^3-3x+2\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-3x+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+2\\[3pt]~~~&=&1-3+2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 2 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-3x+2{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+2{\small ~≧~}3x\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+2)-3x\\[3pt]~~~&=&x^3-3x+2\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-3x+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+2\\[3pt]~~~&=&1-3+2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 2 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-3x+2{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+2{\small ~≧~}3x\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
問題
３節 積分
p.221 問2\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~-2x+C\)
\({\small (2)}~x^2-3x+C\)
\({\small (3)}~3x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2-x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~-2x+C\)
\({\small (2)}~x^2-3x+C\)
\({\small (3)}~3x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2-x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.222 問3\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~3x^3-6x^2+4x+C\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}t^3+3t^2-9t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~3x^3-6x^2+4x+C\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}t^3+3t^2-9t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.223 問4\(~~~F(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x+1\)
解法のPoint｜不定積分と関数の決定
解法のPoint｜不定積分と関数の決定
p.225 問6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~-14\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,31\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (3)}~-14\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,31\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.226 問7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,21\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,44\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,44\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.227 問8\({\small [\,4\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [\,5\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
\({\small [\,5\,]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.232 問14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
解法のPoint｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
p.235 問17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ 1/6の公式を用いた解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ 1/6の公式を用いた解説はこちら！
問題
p.238 問題 20\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ 1/6の公式を用いた解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ 1/6の公式を用いた解説はこちら！
p.238 問題 23区間 \([\,-1~,~0\,]\) では常に \(x^2+1 \gt x^2\) となるので、放物線 \(y=x^2+1\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側となり、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(x^2+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}1\,dx
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x\,\Big]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-(-1)
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
4直線 \(y=x~,~\)\(y=x+1~,~\)\(x=0~,~\)\(x=1\) で囲まれた図形は底辺 \(1\) 、高さ \(1\) の平行四辺形であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&1 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_1=S_2=1\) となり、\(S_1\) と \(S_2\) は等しい
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(x^2+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}1\,dx
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x\,\Big]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-(-1)
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
4直線 \(y=x~,~\)\(y=x+1~,~\)\(x=0~,~\)\(x=1\) で囲まれた図形は底辺 \(1\) 、高さ \(1\) の平行四辺形であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&1 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_1=S_2=1\) となり、\(S_1\) と \(S_2\) は等しい
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.240 参考 問1\({\small (1)}~y=3x~,~y=-5x\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
練習問題 微分と積分
p.244 練習問題A 6 \(y=7x+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}~,~y=-x\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.245 練習問題B 9 \(f(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^3+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}x^2-12x+13\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.245 練習問題B 10\({\small (1)}~\)\(x=1\) のとき極大値 \(4\)、\(x=3\) のとき極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}4\) のとき、\(4\)
\(4 \lt a\) のとき、\(a(a-3)^2\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
\({\small (2)}~\)
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}4\) のとき、\(4\)
\(4 \lt a\) のとき、\(a(a-3)^2\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
p.245 練習問題B 14[証明] 1次関数を \(f(x)=ax+b~~(a \neq 0)\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(a^2x^2+2abx+b^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}x^3+abx^2+b^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}x^2+bx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2-\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-ab-b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4a^2-3a^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,12\,} \gt 0\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(a^2x^2+2abx+b^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}x^3+abx^2+b^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}x^2+bx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2-\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-ab-b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4a^2-3a^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,12\,} \gt 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx \gt \left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
