共通テスト数学ⅠA｜データの分析の基本問題10問【PDF・解説つき】

61 数学ⅠA【解答】

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\(x\) の標準偏差 \(\sqrt{2}\)、\(y\) の標準偏差 \(2\)

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共分散 \(2\)、相関係数 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)

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【より詳しい解説】
データ \(x\) の平均値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&\displaystyle \frac{\,5+4+8+7+6\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

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データ \(y\) の平均値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,11+7+13+9+10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,50\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)

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これより、\(x\) と \(y\) の偏差の表は、

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　\(\begin{array}{c|c|c|c|c}
& ~x~ & ~y~ & x-\overline{x} & y-\overline{y} \\
\hline
① & 5 & 11 & -1 & +1 \\
② & 4 & 7 & -2 & -3 \\
③ & 8 & 13 & +2 & +3 \\
④ & 7 & 9 & +1 & -1 \\
⑤ & 6 & 10 & 0 & 0
\end{array}\)

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※ 偏差は、データの値から \(x\) は \(\overline{x}=6\) を引いた値、\(y\) は \(\overline{y}=10\) を引いた値である。

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次に、それぞれの偏差の \(2\) 乗と偏差の積の値の表は、

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　\(\begin{array}{c|c|c|c}
& (x-\overline{x})^2 & (y-\overline{y})^2 & (x-\overline{x})(y-\overline{y}) \\
\hline
① & 1 & 1 & -1 \\
② & 4 & 9 & +6 \\
③ & 4 & 9 & +6 \\
④ & 1 & 1 & -1 \\
⑤ & 0 & 0 & 0 \\
\hline
計 & 10 & 20 & 10
\end{array}\)

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よって、\(x\) の分散は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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標準偏差は \(s_x=\sqrt{\,2\,}\)

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\(y\) の分散は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_y}^2&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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標準偏差は \(s_y=\sqrt{\,4\,}=2\)

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共分散は、

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\(\begin{eqnarray}~~~s_{xy}&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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相関係数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,} {\, \small \times \,} 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(\sqrt{\,2\,}{\small ~≒~}1.41\) とすると、

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\(\displaystyle \frac{\,1.41\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\)

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【別解】 相関係数は、それぞれの偏差の \(2\) 乗の和と偏差の積の和を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,\sqrt{\,10 {\, \small \times \,} 20\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,\sqrt{\,200\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}{\small ~≒~}0.71\end{eqnarray}\)