数研出版：改訂版高等学校数学Ｂ

p.47 練習1
\({\small (1)}~(-1,3,2)\)
\({\small (2)}~(1,-3,2)\)
\({\small (3)}~(-1,-3,2)\)
\({\small (4)}~(-1,-3,-2)\)

p.47 練習2
\({\small (1)}~7\)　\({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
→ 空間の点の座標

p.48 練習3
等しいベクトル \(\overrightarrow{\rm BF}~,~\overrightarrow{\rm CG}~,~\overrightarrow{\rm DH}\)
逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm CB}~,~\overrightarrow{\rm GF}~,~\overrightarrow{\rm HE}\)

p.49 練習4
\({\small (1)}~{\rm C}\)　\({\small (2)}~{\rm B}\)

p.49 練習5
\({\small (1)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
\({\small (4)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
→ 空間ベクトルの基本と分解

p.51 練習6
\(x=6~,~y=-3~,~z=4\)

p.52 練習7
\({\small (1)}~3\)　\({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
→ 空間ベクトルの成分と大きさ

p.53 練習8
\({\small (1)}~(5,0,-2)\)
\({\small (2)}~(-3,6,-2)\)
\({\small (3)}~(14,-3,-4)\)
\({\small (4)}~(21,-27,6)\)
→ 空間ベクトルの成分と式変形

p.53 練習9
\({\small (1)}~(1,-2,1)~,~\sqrt{6}\)
\({\small (2)}~(-2,-4,4)~,~6\)
→ 空間の点とベクトルの成分

p.55 練習10
\({\small (1)}~-7~,~120^\circ\)
\({\small (2)}~0~,~90^\circ\)
→ 空間ベクトルの内積②（成分利用）

p.55 練習11
\(135^\circ\)

p.56 練習12
\((1,1,2)~,~(-1,-1,-2)\)
→ 空間ベクトルの垂直条件

p.57 練習13
\({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}}\)
→ 空間の位置ベクトル

p.58 練習14
[証明] \(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm OM}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+\overrightarrow{\rm OE}}{2}}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
次に、
　　\(\overrightarrow{\rm OG}\)
　\(={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
　\(={\large \frac{4}{3}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}}\)
　\(={\large \frac{4}{3}}\overrightarrow{\rm OM}\)
したがって、３点 \(O~,~M~,~G\) は同一直線上にある [終]
→ 空間の３点が同一直線上にある条件

p.59 練習15
\(5\)
→ 空間の４点が同一平面上にある条件

p.60 練習16
\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{9}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{2}{9}}\overrightarrow{c}\)
→ 延長線が平面上にある条件

p.62 練習17
[証明]
　\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{g}\)
とすると、
　\(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
　　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
　\(=\overrightarrow{g}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(=\left({\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}}\right)\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
　\(={\large \frac{1}{3}}(-|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2\)
　　　\(+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})\)
ここで、正四面体であるので
　\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、それぞれのなす角が \(60^\circ\) で等しく長さも等しいので
　\(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AG}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AG\perp BC}\) [終]
→ 空間ベクトルの内積と証明

p.63 練習18
\({\small (1)}~3\sqrt{6}\)　\({\small (2)}~\left({\large \frac{5}{2}},0,-{\large \frac{1}{2}}\right)\)
\({\small (3)}~(3,-1,0)\)　\({\small (4)}~(7,-9,4)\)

p.63 練習19
\((2,1,2)\)

p.64 練習20
\({\small (1)}~z=3\)　\({\small (2)}~x=1\)
\({\small (3)}~y=2\)

p.65 練習21
\({\small (1)}~x^2+y^2+z^2=9\)
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16\)
\({\small (3)}~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=20\)
\({\small (4)}~x^2+(y-3)^2+(z+1)^2=17\)
→ 球面の方程式

p.66 練習22
中心 \((0,-2,3)\)、半径 \(3\)

p.66 発展1
\(2x-y+4z=1\)

p.67 1
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\)

p.67 2
\(\pm2\)

p.67 3
[証明] \({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) とすると、
　\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{3}}\)
ここで、
　\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OD}\)
　\(2\overrightarrow{\rm OM}=\overrightarrow{\rm OC}\)
これらより、
　\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と一致する
したがって、点 \({\rm G}\) は線分 \({\rm DM}\) 上にあり、\({\rm DM}\) を \(2:1\) に内分する [終]

p.67 4
\((0,1,1)\)

p.67 5
ア:\(4\)　イ:\(4\)　ウ:\(2\)　エ:\(5\)　オ:\(4\)
カ:\(1\)　キ:\(0\)　ク:\(2\)　ケ:\(1\)　コ:\(5\)

p.68 1
\(s={\large \frac{1}{2}}~,~t={\large \frac{1}{2}}\)

p.68 2
\(x=0~,~y=5~,~z=1\)

p.68 3
\(t=1~,~|\overrightarrow{p}|=3\)

p.68 4
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}=(2,2,0)\)
　　\(\overrightarrow{\rm CF}=(2,0,2)\)
\({\small (2)}~4\)　\({\small (3)}~60^\circ\)

p.68 5
\({\small (1)}~\cos{\alpha}=-{\large \frac{1}{2}}~,~\cos{\beta}={\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
　　\(\cos{\gamma}={\large \frac{1}{2}}\)
\({\small (2)}~\alpha=120^\circ~,~\beta=45^\circ\)
　　\(\gamma=60^\circ\)

p.68 6
\({\small (1)}~(10,0,0)\)
\({\small (2)}~\left({\large \frac{13}{3}},{\large \frac{5}{3}},2\right)\)

p.68 7
中心 \((2,-3,3)\)、半径 \(2\sqrt{6}\)

---

章末問題Ｂ

p.69 8
\(a=2~,~b=3\)

p.69 9
\({\small (1)}~150^\circ\)　\({\small (2)}~\sqrt{3}\)

p.69 10
\({\small (1)}~0\)
\({\small (2)}~2|\overrightarrow{\rm BP}|+2|\overrightarrow{\rm HQ}|\)
\({\small (3)}~8\)

p.69 11
[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\)
とすると、\({\rm AC\perp BD}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\)
よって、
　\(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})=0\)
これより、
　\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\) …①
次に、
　　\({\rm AD^2+BC^2}\)
　\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2\)
　\(=|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
　\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}\)
また、
　　\({\rm AB^2+CD^2}\)
　\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2\)
　\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
　\(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2 +|\overrightarrow{d}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}\)
よって、①より
　\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\)
したがって、\({\rm AC\perp BD}\) ならば
　\({\rm AD^2+BC^2=AB^2+CD^2}\) [終]

p.69 12
\(5:3\)