数研出版：改訂版数学Ｂ

p.77 1
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{a}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{a}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

p.77 2
\({\small (1)}~5t^2-10t+14\)
\({\small (2)}~3\)

p.77 3
\({\small (1)}~\)[証明]
　\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
　　\(=(2-1,0-2,2-3)\)
　　\(=(1,-2,-1)\)
次に、
　\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\)
\(=1\times2+(-2)\times0+(-1)\times2=0\)
\(\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{c}\) は \(\overrightarrow{a}\) に垂直である [終]

\({\small (2)}~\)
　\(\overrightarrow{d}=(\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3})\)
　　　　　\(~,~(-\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{3})\)

p.77 4
\(\cos{\alpha}={\large \frac{1}{3}}~,~\cos{\beta}={\large \frac{2}{3}}\)
\(\cos{\gamma}={\large \frac{2}{3}}\)

p.77 5
[証明]
　\(\overrightarrow{\rm KL}\)
\(=\overrightarrow{\rm OL}-\overrightarrow{\rm OK}\)
\(={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\)

また、
　\(\overrightarrow{\rm NM}\)
\(=\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm ON}\)
\(={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OC}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\)

よって、
　\(\overrightarrow{\rm KL}=\overrightarrow{\rm NM}\)
したがって、\({\rm KL=NM~,~KL\parallel NM}\) となり、四角形 \({\rm KLMN}\) は平行四辺形である [終]

p.77 6
[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
　\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とする
\(\triangle {\rm BCD}\) の重心を \({\rm G}\) とすると、
　\(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\)　…①

次に、\(\triangle {\rm PQR}\) の重心を \({\rm G’}\) とすると、
　\(\overrightarrow{\rm AG’}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm AQ}+\overrightarrow{\rm AR})\)
ここで、\({\rm AP}={\rm PB}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\)
\({\rm BQ}=2{\rm QC}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm AQ}={\large \frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{3}}\)
\({\rm CR}=5{\rm RD}\) より、
　\(\overrightarrow{\rm AR}={\large \frac{\overrightarrow{c}+5\overrightarrow{d}}{6}}\)
これらを代入すると、
　\(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{5}{18}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\)　…②

①、②より、
　\(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{6}{5}}\overrightarrow{\rm AG’}\)
したがって、頂点 \({\rm A}\)、\(\triangle {\rm BCD}\) の重心および \(\triangle {\rm PQR}\) の重心は同一直線上にある [終]

p.77 7
\(\overrightarrow{\rm OH}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{c}\)
\({\rm OG:GH}=2:1\)

p.77 8
\({\small (1)}~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=22\)
\({\small (2)}~\)
　\((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\)
　\((x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=9\)

p.78 1
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}\)

p.78 2
\({\small (1)}~150^\circ\)　\({\small (2)}~\sqrt{3}\)

p.78 3
\((x-5)^2+(y-4)^2=7~,~z=1\)

p.78 4
\({\small (1)}~\)[証明]
辺 \({\rm CD}\) の中点 \({\rm M}\) は、
　\(\left({\large \frac{5+3}{2}},{\large \frac{1+(-3)}{2}},{\large \frac{8+6}{2}}\right)=(4,-1,7)\)
よって、
　\(\overrightarrow{\rm CD}=(-2,-4,-2)\)
　\(\overrightarrow{\rm BM}=(3,-4,5)\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm BM}\)
\(=3\times(-2)+(-4)\times(-4)+5\times(-2)=0\)
\(\overrightarrow{\rm BM}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm CD}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm BM}\perp\overrightarrow{\rm CD}\)
したがって、
　\({\rm BM\perp CD}\) [終]
\({\small (2)}~10\sqrt{3}\)
\({\small (3)}~\)[証明]
　\(\overrightarrow{\rm AB}=(-7,1,5)\)
　\(\overrightarrow{\rm BC}=(4,-2,6)\)
　\(\overrightarrow{\rm BD}=(2,-6,4)\)
これより、
　\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(-7)\times4+1\times(-2)+5\times6=0\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AB\perp BC}\)

また、
　\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\)
\(=(-7)\times2+1\times(-6)+5\times4=0\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BD}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm BD}\)
したがって、
　\({\rm AB\perp BD}\)
[終]
\({\small (4)}~50\)

p.78 5
\((4,5,0)\)

p.78 6
\({\rm AG:FG}=16:1\)

p.78 7
\({\small (1)}~\)[証明]
　\(\overrightarrow{\rm OH}=(2s,t,2u)\)
　\(\overrightarrow{\rm AB}=(-2,1,0)\)
　\(\overrightarrow{\rm AC}=(-2,0,2)\)
\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) であるので、
　\(2s\times(-2)+t\times1+2u\times0=0\)
　\(~\Leftrightarrow~4s-t=0\)

次に、\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AC}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=0\) であるので、
　\(2s\times(-2)+t\times0+2u\times2=0\)
　\(~\Leftrightarrow~s-u=0\)

したがって、
　\(4s-t=0~,~s-u=0\) [終]

\({\small (2)}~\left({\large \frac{1}{3}},{\large \frac{2}{3}},{\large \frac{1}{3}}\right)\)
\({\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}\)