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数研出版:改訂版数学B

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第2章 空間のベクトル
第3章 数列

 



第1章 平面上のベクトル

第1節 平面上のベクトルとその演算


p.7 問1

大きさが等しいベクトル
①と④と⑤と⑦と⑨、③と⑧と⑩

同じ向きのベクトル
①と⑦、②と③と⑩、④と⑨

等しいベクトル
①と⑦、③と⑩、④と⑨
ベクトルの基本


p.8 問2

\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)


p.9 問3

[証明]
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\rm OB}\) より、
 \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\)
\(=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=\overrightarrow{\rm OC}\)

また、\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\rm AC}\) より、
 \(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
\(=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AC}\)
\(=\overrightarrow{\rm OC}\)

したがって、
 \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\)
   \(=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
[終]
ベクトルの実数倍・加法・減法


p.10 練習1

\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CD}\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}\)
\(=\overrightarrow{\rm AD}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AD}\)
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
 \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}\)
\(=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA})\)
\(=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\)
\(=\overrightarrow{\rm AA}\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}=\overrightarrow{0}\)
[終]
ベクトルの等式証明


p.10 問4

\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)


p.10 問5

\({\small (1)}~\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}\)


p.10 練習2

\({\small (1)}~-\overrightarrow{a}\) \({\small (2)}~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
\({\small (3)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
ベクトルの実数倍・加法・減法


p.11 練習3

\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)

\({\small (4)}~\)

\({\small (5)}~\)

ベクトルの実数倍・加法・減法


p.12 問6

[証明] \({\rm AC\parallel A’C’}\) より、\(\triangle {\rm OAC}\sim \triangle {\rm OA’C’}\)
よって、
 \({\rm OC:OC’}=1:k\)
これより、
 \(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{\rm OC’}\)
また、
\(k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\rm OA’}+\overrightarrow{\rm OB’}=\overrightarrow{\rm OC’}\)
したがって、
\(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
[終]


p.12 練習4

\({\small (1)}~5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~-3\overrightarrow{a}+16\overrightarrow{b}\)


p.12 問7

\(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)


p.12 練習5

\({\small (1)}~\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~\overrightarrow{x}=5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)
ベクトルの演算


p.13 練習6

\({\small (1)}~3\overrightarrow{e}~,~-3\overrightarrow{e}\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{5}}\overrightarrow{a}~,~-{\large \frac{1}{5}}\overrightarrow{a}\)


p.14 練習7

\(\overrightarrow{\rm AD}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm DF}=-2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm CE}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
ベクトルの分解(正六角形のベクトル)


p.16 練習8

\(\overrightarrow{b}=(2,2)~,~|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{c}=(-4,-3)~,~|\overrightarrow{c}|=5\)
\(\overrightarrow{d}=(1,-3)~,~|\overrightarrow{d}|=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{e}=(-3,0)~,~|\overrightarrow{e}|=3\)

ベクトルの成分と大きさ


p.17 練習9

\({\small (1)}~(0,4)\) \({\small (2)}~(4,-2)\)
\({\small (3)}~(8,4)\) \({\small (4)}~(10,-7)\)


p.17 練習10

\({\small (1)}~\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)
ベクトルの成分と式変形


p.18 練習11

\(x=-3~,~-1\)
ベクトルの成分と平行条件


p.19 練習12

\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}=(3,5)~,~|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{34}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(-1,5)~,~|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{26}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{\rm BC}=(-5,-10)~,~|\overrightarrow{\rm BC}|=5\sqrt{5}\)
\({\small (4)}~\overrightarrow{\rm CA}=(6,5)~,~|\overrightarrow{\rm CA}|=\sqrt{61}\)
点の座標とベクトルの成分


p.19 練習13

\({\rm E}(-3,-5)\)
平行四辺形とベクトル


p.20 練習14

\({\small (1)}~10\sqrt{3}\) \({\small (2)}~-10\) \({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~-20\)
ベクトルの内積①(基本)


p.21 問8

\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~-1\) \({\small (3)}~0\)


p.21 練習15

\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~-3\)
ベクトルの内積①(基本)


p.22 練習16

\({\small (1)}~-1\) \({\small (2)}~0\)
ベクトルの内積②(成分利用)


p.23 練習17

\({\small (1)}~30^\circ\) \({\small (2)}~135^\circ\)
ベクトルのなす角


p.24 練習18

\(\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{1}{\sqrt{5}}},{\large \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)~,~\left(-{\large \frac{1}{\sqrt{5}}},-{\large \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)\)
ベクトルの垂直条件


p.24 練習19

\({\small (1)}~\)[証明] 内積を計算すると、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1a_2+a_2(-a_1)=0\)
また、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) より、
\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は垂直である [終]

\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{e}=\left({\large \frac{2}{\sqrt{13}}},-{\large \frac{3}{\sqrt{13}}}\right)~,~\left(-{\large \frac{2}{\sqrt{13}}},{\large \frac{3}{\sqrt{13}}}\right)\)
ベクトルの垂直条件


p.25 問9

[証明] 性質1
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
また、
 \(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}=b_1a_1+b_2a_2\)
     \(=a_1b_1+a_2b_2\)
したがって、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
[終]

[証明] 性質2
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(k\overrightarrow{a}=(ka_1,ka_2)~,~k\overrightarrow{b}=(kb_1,kb_2)\)
よって、
 \((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
 \(\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=a_1kb_1+a_2kb_2\)
      \(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これより、
 \(k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=k(a_1b_1+a_2b_2)\)
      \(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
したがって、
\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\)
[終]


p.25 問10

[証明] 性質1
\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{a}\) のなす角が \(0^\circ\) であるので、内積を計算すると、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|\cos{0^\circ}=|\overrightarrow{a}|^2\)
したがって、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\) [終]

[証明] 性質2
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\) より、\(|\overrightarrow{a}|≧0\) であるので、
 \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\) [終]


p.25 練習20

\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d})\)
\(=2\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d})\)
     \(+3\overrightarrow{b}(\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d})\)
\(=2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}\)
    \(+3\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}\)
したがって、
\((2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{d})\)
 \(=2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}\)
     \(+3\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}\)
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\)
\(=2\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\)
   \(-3\overrightarrow{b}(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})\)
\(=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
   \(-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+9\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=4|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9|\overrightarrow{b}|^2\)
したがって、
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2\)
  \(=4|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+9|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
内積を用いた等式証明


p.26 練習21

\(2\sqrt{7}\)
内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)


p.26 練習22

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-{\large \frac{3}{2}}~,~150^\circ\)
内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)


p.27

研究1
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~{\large \frac{11}{2}}\)
ベクトルと三角形の面積


問題


p.28 1

[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DE}\)
     \(+\overrightarrow{\rm EF}+\overrightarrow{\rm FA}=\overrightarrow{0}\)
であり、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm ED}~,~\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm FE}\) より、
\(\overrightarrow{\rm ED}+\overrightarrow{\rm FE}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DE}\)
     \(+\overrightarrow{\rm EF}+\overrightarrow{\rm FA}=\overrightarrow{0}\)
また、\(\overrightarrow{\rm ED}+\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{\rm FE}+\overrightarrow{\rm EF}=\overrightarrow{0}\) より、
 \(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm FA}=\overrightarrow{0}\)
   \(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AF}\)
したがって、\({\rm CD}\) と \({\rm AF}\) は平行で \({\rm CD=AF}\)
[終]


p.28 2

\(\overrightarrow{a}=\left({\large \frac{1}{2}},{\large \frac{1}{2}}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left({\large \frac{1}{2}},{\large \frac{3}{2}}\right)\)
\(|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|={\large \frac{5\sqrt{2}}{2}}\)


p.28 3

\(t={\large \frac{4}{5}}\) で最小値 \({\large \frac{7\sqrt{5}}{5}}\)


p.28 4

\({\small (1)}~-2\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~4\)
\({\small (4)}~8\) \({\small (5)}~0\) \({\small (6)}~6\)


p.28 5

[証明]
ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
 \(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)
\(~\Leftrightarrow~\theta=0^\circ\) または \(\theta=180^\circ\)
\(~\Leftrightarrow~\cos{\theta}=1\) または \(\cos{\theta}=-1\)
\(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
   または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
よって、\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|≧0~,~|\overrightarrow{a}|≧0~,~|\overrightarrow{b}|≧0\) であるので、
 \(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\)
それぞれの成分より、
 \((a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)
展開して計算すると、
 \((a_1b_2-a_2b_1)^2=0\)
よって、
 \(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) で、
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) のとき、
 \(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~a_1b_2-a_2b_1=0\) [終]

\(p=-3~,~1\)


p.28 6

\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
   \(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=(|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
   \(+(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\)
  \(=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
   \(-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=(|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
   \(-(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
\(=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\)
  \(=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
[終]


p.28 7

\({\small (1)}~-{\large \frac{1}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{15}{7}}\)




第2節 ベクトルと平面図形


p.30 問11

[証明]
\(\overrightarrow{\rm BQ}={\large \frac{n}{n-m}}\overrightarrow{\rm BA}\) であるので、
 \(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{b}={\large \frac{n}{n-m}}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
  \(~\Leftrightarrow~\overrightarrow{q}={\large \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}\)
[終]


p.31 問12

\({\small (1)}~{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \({\small (4)}~2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)


p.31 練習23

\({\small (1)}~{\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~{\large \frac{3}{2}}\overrightarrow{a}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\)
内分点・外分点の位置ベクトル


p.32 練習24

\({\small (1)}~\)[証明]
\({\rm A,B,C,G,P,Q,R,G’}\) の位置ベクトルをそれぞれ
 \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{g},\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{r},\overrightarrow{g’}\)
とすると、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心は、
 \(\overrightarrow{g}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\(\triangle {\rm PQR}\) の重心は、
 \(\overrightarrow{g’}={\large \frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}}{3}}\)
また、\({\rm P~,~Q~,~R}\) はそれぞれ
 \(\overrightarrow{p}={\large \frac{2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}~,~\overrightarrow{q}={\large \frac{2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}}{3}}\)
 \(\overrightarrow{r}={\large \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}\)
これを代入すると、
 \(\overrightarrow{g’}={\large \frac{1}{3}}\cdot{\large \frac{3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{3}}\)
よって、
 \(\overrightarrow{g’}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
\(\overrightarrow{g}=\overrightarrow{g’}\) より、\({\rm G}\) と \({\rm G’}\) は一致する [終]

\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\)
\(=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{g}\)
ここで、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{g}\) より、
\(=3\overrightarrow{g}-3\overrightarrow{g}=\overrightarrow{0}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\)
[終]
重心の位置ベクトル


p.33 練習25

[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(4:1\) に内分するので、
 \(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{5}}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AD}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\) で、点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm CD}\) を \(3:4\) に内分するので、
 \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{3\cdot{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{7}}={\large \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{7}}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{7}}={\large \frac{5}{7}}\cdot{\large \frac{\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}}{5}}\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm AF}={\large \frac{5}{7}}\overrightarrow{\rm AE}\)
したがって、3点 \({\rm A~,~F~,~E}\) は一直線上にある [終]
3点が同一直線上にある条件


p.34 練習26

\(\overrightarrow{\rm OP}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{9}}\overrightarrow{b}\)
2直線の交点とベクトル


p.35 練習27

[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\({\rm AB=AC}\) より
  \(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\)
また、\({\rm AB\perp AC}\) より
  \(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\)
次に、点 \({\rm L}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、
 \(\overrightarrow{\rm AL}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
また、
 \(\overrightarrow{\rm MN}=\overrightarrow{\rm AN}-\overrightarrow{\rm AM}\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm MN}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AL}\cdot\overrightarrow{\rm MN}\)
\(=\left({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\right)\left({\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}-{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}\right)\)
\(={\large \frac{2}{9}}|\overrightarrow{b}|^2-{\large \frac{2}{9}}|\overrightarrow{c}|^2+{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)
\(=0\)
内積が \(0\) となり、
\(\overrightarrow{\rm AL}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm MN}\neq\overrightarrow{0}\)
であるので、
 \(\overrightarrow{\rm AL}\perp\overrightarrow{\rm MN}\)
したがって、
 \({\rm AL\perp MN}\)
[終]


p.37 練習28

\({\small (1)}~\)\(\biggl\{ \begin{eqnarray} x=3+4t \\ y=2+5t \end{eqnarray}~,~5x-4y-7=0\)
\({\small (2)}~\)\(\biggl\{ \begin{eqnarray} x=1-2t \\ y=-2+3t \end{eqnarray}~,~3x+2y+1=0\)


p.38 問13

\({\small (1)}~\)\(\biggl\{ \begin{eqnarray} x=3-5t \\ y=-2+4t \end{eqnarray}\) \({\small (2)}~\)\(\biggl\{ \begin{eqnarray} x=4-4t \\ y=5t \end{eqnarray}\)
直線のベクトル方程式


p.39 練習29

\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を
\({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
ベクトルと点の存在範囲


p.40 問14

\(\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を
\({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
ベクトルと点の存在範囲


p.40 練習30

\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}=3\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=3\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を
\({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
\({\small (2)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を
\({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
ベクトルと点の存在範囲


p.42 練習31

\({\small (1)}~5x+2y-16=0\)
\({\small (2)}~3x-5y+13=0\)
法線ベクトル


p.42 問15

\({\small (1)}~120^\circ\) \({\small (2)}~60^\circ\)


p.42 練習32

\(45^\circ\)


p.43 練習33

\({\small (1)}~\)中心 \(2\overrightarrow{a}\)、半径 \(1\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
円のベクトル方程式


p.43 練習34

\({\small (1)}~\)[証明]
円の中心は線分 \({\rm AB}\) の中点となり、位置ベクトルは、
 \({\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
また、この円の直径が \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) より、半径は、
 \({\large \frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{2}}\)
したがって、円のベクトル方程式は、
 \(\left|\overrightarrow{p}-{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}\right|={\large \frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{2}}\)
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
(1) の式の両辺を2乗すると、
\(\left|\overrightarrow{p}-{\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}\right|^2={\large \frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2}{2^2}}\)
両辺に \(\times4\) すると、
 \(|2\overrightarrow{p}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})|^2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\)
これを展開し、整理すると、
 \(|\overrightarrow{p}|^2-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)
因数分解すると、
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\)
[終]


p.43 練習35

[証明]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
 \(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)

(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
 \(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)

これらより、いずれの場合でも
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
 \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
 \((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①+②より
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
    \(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
 \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]


問題


p.45 8

\(\overrightarrow{\rm AE}={\large \frac{1}{5}}\overrightarrow{\rm AB}+{\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{\rm AC}\)
\(\overrightarrow{\rm BE}=-{\large \frac{4}{5}}\overrightarrow{\rm AB}+{\large \frac{3}{5}}\overrightarrow{\rm AC}\)


p.45 9

\({\rm A~,~B~,~C~,~D~,~E~,~F}\) の位置ベクトルをそれぞれ、
 \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{e}~,~\overrightarrow{f}\)
とすると、
 \(\overrightarrow{d}={\large \frac{n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}}{m+n}}\)
 \(\overrightarrow{e}={\large \frac{n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}}{m+n}}\)
 \(\overrightarrow{f}={\large \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}\)
となる
\({\small (1)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{e}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{f}-\overrightarrow{c})\)
\(={\large \frac{n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}}{m+n}}+{\large \frac{n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}}{m+n}}\)
    \(+{\large \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
 \(\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm CF}=\overrightarrow{0}\)
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
 (左辺)
\(=(\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{f}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\)
\(={\large \frac{n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}}{m+n}}+{\large \frac{n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}}{m+n}}\)
    \(+{\large \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
\(=\overrightarrow{0}\)
したがって、
 \(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm BF}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}\)
[終]


p.45 10

[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると
 \(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AR}={\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
 \(\overrightarrow{\rm AQ}={\large \frac{-\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{2}}\)
よって、\(\overrightarrow{\rm PQ}=\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AP}\) より、
 \({\large \frac{-\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{2}}-{\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{b}={\large \frac{3}{2}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{9}{10}}\overrightarrow{b}\)

次に、\(\overrightarrow{\rm PR}=\overrightarrow{\rm AR}-\overrightarrow{\rm AP}\) より、
 \({\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{2}{5}}\overrightarrow{b}={\large \frac{9}{4}}\left({\large \frac{3}{2}}\overrightarrow{c}-{\large \frac{9}{10}}\overrightarrow{b}\right)\)

よって、
 \(\overrightarrow{\rm PQ}={\large \frac{9}{4}}\overrightarrow{\rm PR}\)
したがって、3点 \({\rm P~,~Q~,~R}\) は同一直線上にある [終]

また、\(\overrightarrow{\rm PQ}={\large \frac{9}{4}}\overrightarrow{\rm PR}\) より、
 \({\rm PR:RQ}=4:5\)


p.45 11

\(\overrightarrow{\rm OE}={\large \frac{1}{7}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{6}{7}}\overrightarrow{b}~,~{\rm AE:EB}=6:1\)


p.45 12

\({\small (1)}~\)[証明] \({\rm G}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心であるので、
 \(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}}{3}}\)
よって、\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\) より、
 \(\overrightarrow{\rm OG}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{\rm OH}\)
したがって、3点 \({\rm O~,~G~,~H}\) は同一直線上にある [終]

\({\small (2)}~\)[証明]
(ⅰ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形であるとき、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) のとき、\({\rm BC}\) が外接円の直径となり
 \(\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OC}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}\)
\({\rm H}\) と \({\rm A}\) は一致して \({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる

また、\(\angle{\rm B}=90^\circ~,~\angle{\rm C}=90^\circ\) の場合でも
\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心となる

(ⅱ) \(\triangle {\rm ABC}\) が直角三角形でないとき、
 \(\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)
また、
 \(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}\)
よって、
  \(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
 \(=(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})\cdot(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB})\)
 \(=|\overrightarrow{\rm OC}|^2-|\overrightarrow{OB}|^2\)
ここで、\({\rm OB~,~OC}\) は外接円の半径より、
 \(=0\)
よって、\(\overrightarrow{\rm AH}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より
 \({\rm AH\perp BC}\)
また、他でも同様に、
 \({\rm BH\perp CA~,~CH\perp AB}\)
したがって、\({\rm H}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]


p.45 13

\(\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB’}\) となる点 \({\rm B’}\) として、線分 \({\rm AB’}\)




演習問題 平面上のベクトル


演習問題A


p.46 1

\({\small (1)}~\)[証明]
 \(3\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+\overrightarrow{\rm CP}\)
\(=3\overrightarrow{\rm AP}+2(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})\)
\(=6\overrightarrow{\rm AP}-2\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{0}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{2\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}}{6}}\)
次に、\({\rm Q}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分することより、
 \(\overrightarrow{\rm AQ}={\large \frac{2\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}}{3}}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm AQ}\)
したがって、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点である [終]

\({\small (2)}~3:2:1\)


p.46 2

\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OF}=\overrightarrow{a}+{\large \frac{4}{9}}\overrightarrow{c}\) \({\small (2)}~{\large \frac{5}{9}}\) 倍


p.46 3

\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AM}={\large \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
これより、
 \(|\overrightarrow{\rm AM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\)
また、
 \(\overrightarrow{\rm BM}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm BC}={\large \frac{\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
 \(|\overrightarrow{\rm BM}|^2={\large \frac{1}{4}}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
よって、
  \(2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\)
 \(={\large \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2\)
     \(+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
 \(={\large \frac{1}{2}}(2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{c}^2|)\)
 \(=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}^2|\)
 \(={\rm AB^2+AC^2}\)
したがって、
 \({\rm AB^2+AC^2}=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) [終]


p.46 4

\(\overrightarrow{\rm OH}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}\)


演習問題B


p.46 5

\({\small (1)}~-{\large \frac{3}{2}}\)
\({\small (2)}~t_0={\large \frac{1}{6}}\) で最大値 \({\large \frac{\sqrt{15}}{2}}\)
\({\small (3)}~\)[証明]
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-{\large \frac{3}{2}}~,~t_0={\large \frac{1}{6}}\) より、
 \((\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=\left(\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{6}}|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=-{\large \frac{3}{2}}+{\large \frac{1}{6}}\times3^2=0\)
\(\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、
 \((\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\) [終]


p.46 6

[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
点 \({\rm O}\) は外心であるので、
 \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\) …①
また、\(|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\rm AC}|\) より、
 \(|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2\)
展開すると、
 \(|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|^2\)
  \(=|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|^2\)
\(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|\) より、
 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\) …②

次に、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点より、
 \(\overrightarrow{\rm OD}={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm CD}\)
\(=\overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OC}\)
\(={\large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}}\)
また、点 \({\rm E}\) は \(\triangle {\rm ACD}\) の重心より、
 \(\overrightarrow{\rm OE}\)
\(={\large \frac{1}{3}}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+{\Large \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}\right)\)
\(={\large \frac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{6}}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm OE}\)
\(={\large \frac{1}{12}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})\cdot(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\)
\(={\large \frac{1}{12}}(3|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-4|\overrightarrow{c}|^2\)
    \(+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a})\)
①と②より、
\(=0\)
したがって、
 \(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm OE}=0\) [終]


p.46 7

\({\small (1)}~\)線分 \({\rm OA~,~OB}\) を隣り合う2辺とする平行四辺形の周と内分
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA’}=3\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=3\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を
\({\rm A’~,~B’}\) とすると、台形 \( {\rm AA’BB’}\) の周と内部


p.46 8

\({\small (1)}~\)点 \({\rm O}\) を中心で線分 \({\rm OA}\) を半径とする円
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線


 



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