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数研出版:改訂版数学B

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第1章 平面のベクトル
第3章 数列

 



第2章 空間のベクトル

p.51 問1
\({\rm L}(a,b,0)~,~{\rm M}(0,b,c)\)
\({\rm N}(a,0,c)\)

p.51 練習1
\({\rm L}(2,-3,0)~,~{\rm M}(0,-3,4)\)
\({\rm N}(2,0,4)\)

p.51 問2
\({\small (1)}~{\rm A}(2,4,-3)\) \({\small (2)}~{\rm B}(2,-4,-3)\)
\({\small (3)}~{\rm C}(-2,-4,-3)\)

p.51 練習2
\({\small (1)}~(-1,2,3)\) \({\small (2)}~(1,-2,3)\)
\({\small (3)}~(-1,2,-3)\) \({\small (4)}~(-1,-2,3)\)
p.53 練習3
\({\small (1)}~2\sqrt{3}\) \({\small (2)}~6\)
空間の点の座標

p.53 練習4
[証明]
\({\rm AB}=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}\)
\({\rm BC}=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}\)
\({\rm CA}=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}\)
よって、\({\rm AB=BC=CA}\) となり、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である [終]

p.53 練習5
\((3,0,0)\)

p.53 練習6
\(\left({\large \frac{11}{3}},{\large \frac{7}{3}},-{\large \frac{2}{3}}\right)~,~(1,5,2)\)
p.55 練習7
\({\small (1)}~-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \({\small (2)}~-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
空間ベクトルの基本と分解

p.56 練習8
\(\overrightarrow{\rm OI}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm OM}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{\rm KI}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\)
p.58 練習9
\({\small (1)}~5\sqrt{2}\) \({\small (2)}~7\)
空間ベクトルの成分と大きさ
p.58 問3
\({\small (1)}~(0,1,1)~,~\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~(2,-5,5)~,~3\sqrt{6}\)
\({\small (3)}~(2,-4,6)~,~2\sqrt{14}\)
\({\small (4)}~(-5,12,-13)~,~13\sqrt{2}\)
空間ベクトルの成分と式変形
p.58 練習10
\({\small (1)}~(0,2,0)~,~2\)
\({\small (2)}~(4,-4,2)~,~6\)
\({\small (3)}~(2,5,1)~,~\sqrt{30}\)

p.59 問4
\(\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\)

p.59 練習11
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\)
空間ベクトルの成分と式変形
p.59 練習12
\({\small (1)}~(4,0,1)~,~\sqrt{17}\)
\({\small (2)}~(-1,5,-3)~,~\sqrt{35}\)
\({\small (3)}~(-5,-10,5)~,~5\sqrt{6}\)
\({\small (4)}~(6,5,-2)~,~\sqrt{65}\)
空間の点とベクトルの成分

p.59 練習13
\((2,-2,6)\)

p.60 問5
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~4\)

p.61 問6
\(6~,~60^\circ\)
p.61 練習14
\({\small (1)}~3~,~45^\circ\)
\({\small (2)}~-7~,~120^\circ\)
空間ベクトルの内積②(成分利用)
p.61 練習15
\({\rm A}=30^\circ~,~{\rm B}=90^\circ~,~{\rm C}=60^\circ\)
p.61 練習16
\(\overrightarrow{p}=(-3,-2,1)~,~(3,2,-1)\)
空間ベクトルの垂直条件
p.57 練習13
[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{e}\) とすると、
対角線 \({\rm AG}\) の中点を \({\rm P}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e})\)

次に、対角線 \({\rm BH}\) の中点を \({\rm Q}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AQ}={\large \frac{\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AH}}{2}}={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e})\)

次に、対角線 \({\rm CE}\) の中点を \({\rm R}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AR}={\large \frac{\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm AE}}{2}}={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e})\)

次に、対角線 \({\rm DF}\) の中点を \({\rm S}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AS}={\large \frac{\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm AF}}{2}}={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e})\)

よって、
 \(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{\rm AQ}=\overrightarrow{\rm AR}=\overrightarrow{\rm AS}\)
これより、4点 \({\rm P~,~Q~,~R~,~S}\) は一致する
したがって、4つの対角線 \({\rm AG~,~BH~,~CE~,~DF}\) の中点は一致する [終]
空間の位置ベクトル

p.64 練習18
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm DM}=\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm OD}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm DM}={\large \frac{-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}\)
次に、
 \(\overrightarrow{\rm DG}=\overrightarrow{\rm OG}-\overrightarrow{\rm OD}\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm DG}={\large \frac{-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm DM}={\large \frac{3}{2}}\overrightarrow{\rm DG}\)
したがって、3点 \(\rm D~,~G~,~M\) は同一直線上にある [終]

\({\rm DG:GM}=2:1\)
空間の3点が同一直線上にある条件

p.65 問7
\(x={\large \frac{6}{11}}\)
p.66 問8
\(1:3\)
p.66 練習20
\(\overrightarrow{\rm OM}={\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\)
延長線が平面上にある条件
p.68 練習21
[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、
\({\rm AB\perp CD}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=0\) となるので、
 \(\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})=0\)
よって、
 \(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)

次に、\({\rm AC\perp BD}\) より、\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\) となるので、
 \(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})=0\)
よって、
 \(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)

これらを用いて、
 \(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=\overrightarrow{d}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=0\)
\(\overrightarrow{\rm AD}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm AD}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、
 \({\rm AD\perp BC}\) [終]
空間ベクトルの内積と証明

p.69 練習22
\((1,3,4)\)
p.70 問9
\({\small (1)}~(5,0,-1)~,~(13,8,-17)\)
\({\small (2)}~(3,-2,3)~,~(-5,-10,19)\)
\({\small (3)}~(4,-1,1)\)
\({\small (4)}~(3,-2,1)\)
p.70 練習23
\({\small (1)}~(2,-1,-1)~,~(-22,23,-25)\)
\({\small (2)}~\left({\large \frac{11}{2}},-{\large \frac{9}{2}},1\right)\)
\({\small (3)}~(3,-2,-1)\)
p.71 練習24
\({\small (1)}~x=2\) \({\small (2)}~y=1\)
\({\small (3)}~z=4\)
p.72 問10
\({\small (1)}~(x-1)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4\)
\({\small (2)}~x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9\)
p.72 練習25
\({\small (1)}~x^2+y^2+z^2=9\)
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=16\)
\({\small (3)}~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=14\)
球面の方程式

p.73 練習26
\(xy\) 平面
 \((x+3)^2+(y-1)^2=9~,~z=0\)
\(yz\) 平面
 \((y-1)^2+(z-2)^2=4~,~x=0\)
\(zx\) 平面
 \((x+3)^2+(z-2)^2=12~,~y=0\)

p.73 練習27
\(a=\pm 1\)
p.74 発展1
\(x-4y-2z=3\)
\(x\) 軸との交点 \((3,0,0)\)
\(y\) 軸との交点 \(\left(0,-{\large \frac{3}{4}},0\right)\)
\(z\) 軸との交点 \(\left(0,0,-{\large \frac{3}{2}}\right)\)
p.75 発展2
\(2\)

問題

p.77 1
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{a}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{a}-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

p.77 2
\({\small (1)}~5t^2-10t+14\)
\({\small (2)}~3\)

p.77 3
\({\small (1)}~\)[証明]
 \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
  \(=(2-1,0-2,2-3)\)
  \(=(1,-2,-1)\)
次に、
 \(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\)
\(=1\times2+(-2)\times0+(-1)\times2=0\)
\(\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) であるので、\(\overrightarrow{c}\) は \(\overrightarrow{a}\) に垂直である [終]

\({\small (2)}~\)
 \(\overrightarrow{d}=(\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3})\)
     \(~,~(-\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{3})\)

p.77 4
\(\cos{\alpha}={\large \frac{1}{3}}~,~\cos{\beta}={\large \frac{2}{3}}\)
\(\cos{\gamma}={\large \frac{2}{3}}\)

p.77 5
[証明]
 \(\overrightarrow{\rm KL}\)
\(=\overrightarrow{\rm OL}-\overrightarrow{\rm OK}\)
\(={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\)

また、
 \(\overrightarrow{\rm NM}\)
\(=\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm ON}\)
\(={\large \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC})-{\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OC}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\)

よって、
 \(\overrightarrow{\rm KL}=\overrightarrow{\rm NM}\)
したがって、\({\rm KL=NM~,~KL\parallel NM}\) となり、四角形 \({\rm KLMN}\) は平行四辺形である [終]

p.77 6
[証明]
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\)
 \(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とする
\(\triangle {\rm BCD}\) の重心を \({\rm G}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\) …①

次に、\(\triangle {\rm PQR}\) の重心を \({\rm G’}\) とすると、
 \(\overrightarrow{\rm AG’}={\large \frac{1}{3}}(\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm AQ}+\overrightarrow{\rm AR})\)
ここで、\({\rm AP}={\rm PB}\) より、
 \(\overrightarrow{\rm AP}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\)
\({\rm BQ}=2{\rm QC}\) より、
 \(\overrightarrow{\rm AQ}={\large \frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{3}}\)
\({\rm CR}=5{\rm RD}\) より、
 \(\overrightarrow{\rm AR}={\large \frac{\overrightarrow{c}+5\overrightarrow{d}}{6}}\)
これらを代入すると、
 \(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{5}{18}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\) …②

①、②より、
 \(\overrightarrow{\rm AG}={\large \frac{6}{5}}\overrightarrow{\rm AG’}\)
したがって、頂点 \({\rm A}\)、\(\triangle {\rm BCD}\) の重心および \(\triangle {\rm PQR}\) の重心は同一直線上にある [終]

p.77 7
\(\overrightarrow{\rm OH}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}+{\large \frac{1}{4}}\overrightarrow{c}\)
\({\rm OG:GH}=2:1\)

p.77 8
\({\small (1)}~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=22\)
\({\small (2)}~\)
 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\)
 \((x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=9\)



演習問題 空間のベクトル

演習問題A

p.78 1
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}\)

p.78 2
\({\small (1)}~150^\circ\) \({\small (2)}~\sqrt{3}\)

p.78 3
\((x-5)^2+(y-4)^2=7~,~z=1\)

演習問題B

p.78 4
\({\small (1)}~\)[証明]
辺 \({\rm CD}\) の中点 \({\rm M}\) は、
 \(\left({\large \frac{5+3}{2}},{\large \frac{1+(-3)}{2}},{\large \frac{8+6}{2}}\right)=(4,-1,7)\)
よって、
 \(\overrightarrow{\rm CD}=(-2,-4,-2)\)
 \(\overrightarrow{\rm BM}=(3,-4,5)\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm BM}\)
\(=3\times(-2)+(-4)\times(-4)+5\times(-2)=0\)
\(\overrightarrow{\rm BM}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm CD}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm BM}\perp\overrightarrow{\rm CD}\)
したがって、
 \({\rm BM\perp CD}\) [終]
\({\small (2)}~10\sqrt{3}\)
\({\small (3)}~\)[証明]
 \(\overrightarrow{\rm AB}=(-7,1,5)\)
 \(\overrightarrow{\rm BC}=(4,-2,6)\)
 \(\overrightarrow{\rm BD}=(2,-6,4)\)
これより、
 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=(-7)\times4+1\times(-2)+5\times6=0\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm BC}\)
したがって、\({\rm AB\perp BC}\)

また、
 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\)
\(=(-7)\times2+1\times(-6)+5\times4=0\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm BD}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm BD}\)
したがって、
 \({\rm AB\perp BD}\)
[終]
\({\small (4)}~50\)

p.78 5
\((4,5,0)\)

p.78 6
\({\rm AG:FG}=16:1\)

p.78 7
\({\small (1)}~\)[証明]
 \(\overrightarrow{\rm OH}=(2s,t,2u)\)
 \(\overrightarrow{\rm AB}=(-2,1,0)\)
 \(\overrightarrow{\rm AC}=(-2,0,2)\)
\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) であるので、
 \(2s\times(-2)+t\times1+2u\times0=0\)
 \(~\Leftrightarrow~4s-t=0\)

次に、\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AC}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=0\) であるので、
 \(2s\times(-2)+t\times0+2u\times2=0\)
 \(~\Leftrightarrow~s-u=0\)

したがって、
 \(4s-t=0~,~s-u=0\) [終]

\({\small (2)}~\left({\large \frac{1}{3}},{\large \frac{2}{3}},{\large \frac{1}{3}}\right)\)
\({\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}\)

 



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