【新課程】数研出版：数学Ｂ[710]

p.8 練習1数列①：第 \(3\)項が \(5\)、第 \(5\) 項が \(9\)
数列②：第 \(3\) 項が \(3\)、第 \(5\) 項が \(6\)

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解法のPoint｜一般項とそれぞれの項の求め方

p.9 練習2\({\small (1)}~a_1=1~,~a_2=-1~,~a_3=-3~,~a_4=-5\)
\(~~~~~a_5=-7~,~a_7=-11~,~a_{10}=-17\)

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\({\small (2)}~a_1=2~,~a_2=4~,~a_3=8~,~a_4=16\)
\(~~~~~a_5=32~,~a_7=128~,~a_{10}=1024\)

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\({\small (3)}~a_1=-1~,~a_2=1~,~a_3=-1~,~a_4=1\)
\(~~~~~a_5=-1~,~a_7=-1~,~a_{10}=1\)

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解法のPoint｜一般項とそれぞれの項の求め方

p.9 練習3\({\small (1)}~a_n=2(n-1)\)
\({\small (2)}~a_n=(-1)^{n-1}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}\)

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解法のPoint｜数列の一般項の推測

p.10 問1\({\small (1)}~\)公差が \(4\)、□は \(14~,~18\)
\({\small (2)}~\)公差が \(-3\)、□は \(23~,~14~,~11\)

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解法のPoint｜等差数列と公差

p.11 練習4\(a_n=-4n+14~,~a_{10}=-26\)

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解法のPoint｜等差数列の一般項

p.11 問2\({\small (1)}~a_n=4n-2\)　　\({\small (2)}~a_n=-3n+26\)

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解法のPoint｜等差数列の一般項

p.11 練習5\({\small (1)}~a_n=6n-9~,~a_{8}=39\)
\({\small (2)}~a_n=-7n+32~,~a_{8}=-24\)

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解法のPoint｜等差数列の一般項

p.11 問3\(~~~a_1=29~,~a_n=-3n+32\)

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解法のPoint｜等差数列の一般項

p.11 練習6\(~~~a_1=-10~,~a_n=2n-12\)

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解法のPoint｜等差数列の一般項

p.11 練習7\({\small (1)}~\)初項 \(57\)、公差 \(-3\)
　一般項 \(a_n=-3n+60\)
\({\small (2)}~\)第 \(36\) 項

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p.12 練習8\(a_n=3n-4\) より、
　\(a_{n+1}=3(n+1)-4=3n-1\)
よって、
　\(a_{n+1}-a_n=3\)
すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n+1}-a_n\) が \(3\) で一定であるから、数列 \(\{ a_n \}\) は等差数列である
初項 \(-1\)、公差 \(3\)

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解法のPoint｜等差数列であることの証明

p.12 問4\(~~~b=-3\)

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解法のPoint｜数列a,b,cが等差数列(等差中項)

p.12 練習9\(~~~a=4\)

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解法のPoint｜数列a,b,cが等差数列(等差中項)

p.14 練習10\({\small (1)}~-165\)　　\({\small (2)}~126\)

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解法のPoint｜等差数列の和

p.14 練習11\({\small (1)}~1717\)　　\({\small (2)}~555\)

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解法のPoint｜項数を調べる等差数列の和

p.15 練習12\(~~~n(n+1)\)

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解法のPoint｜自然数の和と倍数の和

p.15 問5\({\small (1)}~1683\)　　\({\small (2)}~3367\)

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解法のPoint｜自然数の和と倍数の和

p.15 練習13\({\small (1)}~1265\)　　\({\small (2)}~1288\)
\({\small (3)}~3717\)

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p.16 練習14初項から第 \(40\) 項までの和が最小となる
最小の和は \(-1600\)

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p.16 深める\({\small (1)}~S_n=-3n^2+52n\)
\({\small (2)}~\)平方完成すると、
　\(~S_n=-3\left(n-\displaystyle \frac{\,26\,}{\,3\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,676\,}{\,3\,}\)
グラフと \(n\) が自然数より、\(n=9\) のとき最大値をとる
　\(~S_9=-3\times 9^2+52\times9=225\)

p.17 問6\({\small (1)}~-16~,~32\)

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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27\,}\)

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解法のPoint｜等比数列と公比

p.18 問7\({\small (1)}~-4\cdot(-2)^{n-1}\)

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\({\small (2)}~3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)

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解法のPoint｜等比数列の一般項

p.18 練習15\({\small (1)}~a_n=5\cdot2^{n-1}~,~a_7=320\)

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\({\small (2)}~a_n=2\cdot(-1)^{n}~,~a_7=-2\)

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\({\small (3)}~a_n=(-3)^{n-1}~,~a_7=729\)

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\({\small (4)}~a_n=9\cdot\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}~,~a_7=\displaystyle \frac{\,64\,}{\,81\,}\)

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解法のPoint｜等比数列の一般項

p.18 練習16初項 \({\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)、公比 \(3\)、一般項 \(a_n={\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}\cdot3^{n-1}\)

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　または

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初項 \({\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)、公比 \(-3\)、一般項 \(a_n={\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}\cdot(-3)^{n-1}\)

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p.18 問8[証明] 数列 \(a~,~b~,~c\) がこの順に等比数列であるので、
　\({\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}}={\displaystyle \frac{\,c\,}{\,b\,}}~\Leftrightarrow~b^2=ac\)

逆に、\(b^2=ac\) のとき、式変形すると
　\(b^2=ac~\Leftrightarrow~{\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}}\)
これより、数列 \(a~,~b~,~c\) がこの順に等比数列となる
したがって、
数列 \(a~,~b~,~c\) が等比数列
　　\(~\Leftrightarrow~b^2=ac\) [終]

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解法のPoint｜数列a,b,cが等比数列(等比中項)

p.18 練習17\(~b=\pm2\)

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解法のPoint｜数列a,b,cが等比数列(等比中項)

p.20 練習18\({\small (1)}~121\)　　\({\small (2)}~129\)

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解法のPoint｜等比数列の和

p.20 練習19\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1-(-2)^n\,}{\,3\,}\)　　\({\small (2)}~10\{1-(0.1)^n\}\)

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解法のPoint｜等比数列の和

p.20 練習20\(a=1~,~r=2\)
　または
\(a=9~,~r=-{\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)

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p.22 問9[証明]
恒等式 \(k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1\) において、
\(k=1\) のとき、
　\(1^4-0^2=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1\)
\(k=2\) のとき、
　\(2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1\)
\(k=3\) のとき、
　\(3^4-2^4=4\cdot 3^3-6\cdot 3^2+4\cdot 3-1\)
…
\(k=n\) のとき、
　\(n^4-(n-1)^4\)
　　　　\(=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1\)
これらの両辺を加えていくと、
　\(n^4=4(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3)\)
　　　　\(-6(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\)
　　　　　\(+4(1+2+3+\cdots+n)+n\)
ここで、\(S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\) として和の計算をすると、
　\(n^4=4S-n(n+1)(2n+1)\)
　　　　　　\(+2n(n+1)-n\)
\(S\) について整理すると、
　\(4S=\{n(n+1)\}^2\)
よって、
　\(S=\left\{{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}n(n+1)\right\}^2\)
したがって、
　\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
　　　　\(=\left\{{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}n(n+1)\right\}^2\) [終]

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解法のPoint｜自然数の2乗の和と3乗の和

p.23 練習21\({\small (1)}~2870\)　　\({\small (2)}~784\)

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解法のPoint｜自然数の2乗の和と3乗の和

p.23 練習22\({\small (1)}~4+9+14+\cdots+(5n-1)\)

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\({\small (2)}~2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{n+1}\)

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\({\small (3)}~7^2+9^2+11^2+\cdots+31^2\)

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解法のPoint｜シグマ記号を項の和で表す

p.23 練習23[証明]
　(左辺)
\(=(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)\)
　　　　\(+\cdots+(2\cdot10+1)\)
\(=3+5+7+\cdots+21\)
　(右辺)
\(=(2\cdot2-1)+(2\cdot3-1)\)
　　　　\(+\cdots+(2\cdot11-1)\)
\(=3+5+7+\cdots+21\)
したがって、\(~\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(2k+1)=\displaystyle \sum_{i=2}^{11}(2i-1)\)[終]

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解法のPoint｜シグマ記号の書き換え

p.24 練習24\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5^n-1\,}{\,4\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3^n-3\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜等比数列の和とシグマ記号

p.24 練習25\({\small (1)}~30\)　　\({\small (2)}~55\)

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\({\small (3)}~204\)　　\({\small (4)}~441\)

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解法のPoint｜シグマ記号の公式

p.25 練習26\({\small (1)}~n(2n+5)\)　　\({\small (2)}~n(n-1)^2\)

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\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+7)\)

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\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}n(n-1)\)

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p.26 練習27　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n(n+1)(n+2)(n+3)\)

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p.26 練習28　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)\)

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}n(n+1)^2(n+2)\)

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p.27 練習29\({\small (1)}~\)定数 \(4\) が並ぶ数列
\({\small (2)}~\)初項 \(2\)、公比 \(3\) の等比数列

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解法のPoint｜階差数列をもつ数列の一般項

p.28 練習30\({\small (1)}~a_n=n^2+2n-1\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(3^n-1)\)

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p.29 練習31\({\small (1)}~a_n=6n-5\)

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\({\small (2)}~a_n=2\cdot3^{n-1}\)

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p.29 深める\({\small (1)}~a_n=2n+3\)
\({\small (2)}~a_1=6\)

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解法のPoint｜数列の和の式から一般項を求める

p.30 練習32\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)
\(={\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\cdot{\displaystyle \frac{\,(2k+1)-(2k-1)\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}}\)
\(={\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\cdot{\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}}\)
\(={\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}}\)
したがって、
　\({\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}}\)
\(={\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}}\left({\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}}-{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}}\right)\)
[終]

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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2n+1\,}\)

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p.30 練習33\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)
\(={\displaystyle \frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})\,}}\)
\(={\displaystyle \frac{\,\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\,}{\,k-(k+1)\,}}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
したがって、
\({\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
[終]

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\({\small (2)}~\sqrt{n+1}-1\)

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p.31 練習34\(~~~S=(n-1)\cdot3^n+1\)

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p.31 練習35\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\)

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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1-(n+1)r^n+nr^{n+1}\,}{\,(1-r)^2\,}\)

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p.32 練習36\({\small (1)}~n^2-2n+2\)　　\({\small (2)}~1729\)

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p.32 深める　第 \(10\) 群

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解法のPoint｜群数列の第n群の最初の項と第n群の和

p.33 問題 1　\(a_n=6n-1~,~2533\)

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p.33 問題 2　\(64\)

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p.33 問題 3\({\small (1)}~k(n-k+1)\)

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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(n+2)\)

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p.33 問題 4\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(3n^2-3n+4)\)

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\({\small (2)}~a_n=3\cdot2^{n-1}-1\)

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解法のPoint｜隣り合う2つの項の差が等差数列or等比数列

p.33 問題 5\({\small (1)}~a_n=(n+1)\cdot2^{n-1}\)

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\({\small (2)}~a_n=n(n+1)\)

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\({\small (3)}~a_1=9~,~a_n=3(n^2-n+1)~~(n{\small ~≧~}2)\)

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p.33 問題 6　\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2n+1}-1\,}{\,2\,}\)

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p.33 問題 7　\(3~,~6~,~9\)

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解法のPoint｜数列a,b,cが等差数列(等差中項)

p.33 問題 8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)n+1\)　　\({\small (2)}~14\)

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p.34 練習37\({\small (1)}~a_5=322\)　　\({\small (2)}~a_5=42\)

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解法のPoint｜漸化式で表された数列

p.35 問10\({\small (1)}~a_n=3n-1\)　　\({\small (2)}~a_n=(-2)^{n-1}\)

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解法のPoint｜等差数列と等比数列の漸化式

p.35 練習38\({\small (1)}~a_n=-5n+8\)　　\({\small (2)}~a_n=-2\cdot3^{n-1}\)

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解法のPoint｜等差数列と等比数列の漸化式

p.35 練習39\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(3^n+1)\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(n^3-n+6)\)

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p.36 練習40\({\small (1)}~a_n=2^{n+1}-3\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\left\{1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\right\}\)

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p.36 深める\(a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})\)
\(a_1=1\) より、\(a_2=5\) であるので、
　\(a_2-a_1=4\)
したがって、\(\left\{ a_{n+1}-a_{n} \right\}\) は初項 \(4\)、公比 \(3\) の等比数列であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-a_{n}&=&4\cdot3^{n-1}\\[2pt]~~~a_{n+1}&=&a_{n}+4\cdot3^{n-1}\end{eqnarray}\)
\(n≧2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&1+\sum_{k=1}^{n-1}4\cdot3^{k-1}\\[2pt]~&=&1+\displaystyle \frac{\,4(3^{n-1}-1)\,}{\,3-1\,}\\[2pt]~~~&=&2\cdot3^{n-1}-1\end{eqnarray}\)
これは \(n=1\) のときも成り立つ

p.37 練習41　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n-1)\) 個

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p.38 研究 練習1\(~~~p_1=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}~,~p_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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p.38 研究 練習2\(~p_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

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p.39 発展 練習1\({\small (1)}~a_n=\displaystyle \frac{\,7\cdot2^{n-1}-2\cdot(-3)^{n-1}\,}{\,5\,}\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,7^{n-1}-1\,}{\,6\,}\)

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p.40 発展 練習2\({\small (1)}~\)[証明]
\(a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_{n}=0\) を式変形すると、
　\(a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_{n})\)
これより、数列 \(\{a_{n+1}-2a_{n}\}\) は、
初項 \(a_2-2a_1=2\)、公比 \(2\) の等比数列である
一般項は、
　\(a_{n+1}-2a_{n}=2\cdot2^{n-1}\)
したがって、
　\(a_{n+1}-2a_{n}=2^{n}\) [終]

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\({\small (2)}~b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\)

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\({\small (3)}~a_n=(n-1)\cdot2^{n-1}\)

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p.41 発展 練習1\({\small (1)}~a_n+b_n=2^{n-1}\)
　　\(a_n-3b_n=-3\cdot(-2)^{n-1}\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,3\cdot2^{n-1}-3\cdot(-2)^{n-1}\,}{\,4\,}\)
　　\(b_n=\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+3\cdot(-2)^{n-1}\,}{\,4\,}\)

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p.44 練習42① [証明] すべての自然数 \(n\) について、

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\(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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　\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(2^1-1=1\)

---

　よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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\(1+2+2^2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)

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ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、

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これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

 

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② [証明] すべての自然数 \(n\) について、

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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　\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、
　右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)

---

　よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、

---

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これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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p.44 練習43[証明] すべての自然数 \(n\) について、

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　\(5^n-1\) が \(4\) の倍数である　\(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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　\(5^1-1=4\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　整数 \(m\) を用いて、

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　\(\begin{eqnarray}~~~5^k-1&=&4m
\\[3pt]~5^k&=&4m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(n=k+1\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~&&5^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&5^1\cdot 5^k-1
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m+5-1
\\[3pt]~~~&=&20m+4
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m+1\right)
\end{eqnarray}\)

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\(5m+1\) は整数より、\(5^{k+1}-1\) は \(4\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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p.45 問11[証明] すべての自然数 \(n\) について、

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　\((1+a)^n{\small ~≧~}1+na~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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　左辺 \(=(1+a)^1=1+a\)、右辺 \(=1+1\cdot a=1+a\)

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　よって、\(n=1\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　\((1+a)^k{\small ~≧~}1+ka~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺は、

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\(\begin{eqnarray}~~~(1+a)^{k+1}&=&(1+a)(1+a)^k\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]\) より、\((1+a)^k{\small ~≧~}1+ka\) であり、\(a\gt 0\) より \(1+a\gt 0\) であるから

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~(1+a)^{k+1}&{\small ~≧~}&1+(k+1)a\end{eqnarray}\)

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これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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p.45 練習44[証明] \(n{\small ~≧~}2\) のすべての自然数 \(n\) について、

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　\(3^n\gt 4n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=2\) のとき、

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　左辺 \(=3^2=9\)、右辺 \(=4\cdot 2=8\)

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　よって、\(n=2\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　\(3^k\gt 4k~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&3^{k+1}-4(k+1)
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 3^k-4(k+1)\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]\) より、\(3^k\gt 4k\) であるから

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~3^{k+1}-4(k+1)&\gt &0
\\[3pt]~~~3^{k+1}&\gt &4(k+1)
\end{eqnarray}\)

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これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(2\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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p.46 練習45初項と漸化式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_1\,}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_2\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_3\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される

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　\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)

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　よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　\(a_k=\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(n=k+1\) のとき、漸化式より、

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\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_k\,}
\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2k+2-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+2\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(k+1)+1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)

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これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

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　\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\)

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p.48 研究 練習1① [証明] すべての自然数 \(n\) について、

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　\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である　\(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、

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　\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　整数 \(m\) を用いて、

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　\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(n=k+1\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)

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\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

 

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② [証明] 整数を \(3\) で割ったときの余りは、\(0~,~1~,~2\) のいずれかである。

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よって、すべての整数は、整数 \(k\) を用いて

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　\(3k~,~~3k+1~,~~3k+2\)

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のいずれかの形に表される。

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\({\small [\,1\,]}~\) \(n=3k\) のとき

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\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k)^3-3k
\\[3pt]~~~&=&108k^3-3k
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3-k\right)
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}~\) \(n=3k+1\) のとき

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\({\small [\,3\,]}~\) \(n=3k+2\) のとき

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よって、いずれの場合も、\(4n^3-n\) は \(3\) の倍数である。[終]

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p.48 研究 練習2[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&5^n-1
\\[5pt]~~~&=&(4+1)^n-1
\end{eqnarray}\)

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ここで、二項定理より \((4+1)^n\) を展開すると、

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　※ 数式は横にスクロールできます。

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かっこの中が整数より、\(5^n-1\) は \(4\) の倍数となる [終]

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p.49 問題 9\({\small (1)}~a_n=-3n+7\)

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解法のPoint｜等差数列と等比数列の漸化式

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,(-1)^{n-1}+1\,}{\,2\,}\)

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\({\small (3)}~a_n=3\,\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}-2\)

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p.49 問題 10\({\small (1)}~b_n=n(n+2)\)　　\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n(n+2)\,}\)

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p.49 問題11[証明] \(n{\small ~≧~}4\) のすべての自然数 \(n\) について、

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　\(2^n\gt n^2-n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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\({\small (1)}~\) \(n=4\) のとき、

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　左辺 \(=2^4=16\)、右辺 \(=4^2-4+2=14\)

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　よって、\(n=4\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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　\(2^k\gt k^2-k+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)

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\(n=k+1\) のとき \(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{k+1}-\left\{(k+1)^2-(k+1)+2\right\}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(k^2+2k+1-k-1+2)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-(k^2+k+2)\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]\) より、\(2^k\gt k^2-k+2\) であるから

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よって、

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これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(4\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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p.49 問題12\({\small (1)}~\)\(a_2={\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}}\,,\,a_3={\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}}\,,\,a_4={\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}}\,,\,a_5={\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}}\)

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\({\small (2)}~\)\(a_n={\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n+1\,}}\)

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p.49 問題 13\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}a_n+100\)

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\({\small (2)}~a_n=125-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^{n-3}\)

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p.50 演習問題A 1　\(S=(2n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)

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p.50 演習問題A 2\({\small (1)}~b_n=\displaystyle \frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}\)

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\({\small (2)}~a_n=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3^n-1\,}\)

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p.50 演習問題B 3\({\small (1)}~b_n=2^{n-1}+1\)
\({\small (2)}~a_n=2^{n-1}+n\)

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p.50 演習問題B 4\({\small (1)}~a_1=1~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a_n+1\)

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\({\small (2)}~a_n=3-2\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}\)

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p.50 演習問題B 5\({\small (1)}~b_n=2^n-1\)
\({\small (2)}~a_n=n(2^n-1)\)

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p.50 演習問題B 6[証明] \(n{\small ~≧~}2\) のすべての自然数 \(n\) について、

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\({\small (1)}~\) \(n=2\) のとき、\(\small [\,1\,]\) の左辺－右辺は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(1-a_1)(1-a_2)-\{1-(a_1+a_2)\}
\\[3pt]~~~&=&1-a_1-a_2+a_1 a_2-1+a_1+a_2
\\[3pt]~~~&=&a_1 a_2\gt 0 \hspace{15pt}(\,∵~ a_1\gt 0\,,\,a_2\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)

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　よって、\(n=2\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、

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ここで、\(a_1+a_2+\cdots +a_k=S_k\) とおく

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\(0\lt a_{k+1}\lt 1\) より \(0\lt 1-a_{k+1}\lt 1\) であるから、

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\(\small [\,2\,]\) の両辺に \(1-a_{k+1}\) を掛けると、

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ここで、\((1-S_k)(1-a_{k+1})\) と \(1-(S_k+a_{k+1})\) の大小を比較すると、

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よって、\((1-S_k)(1-a_{k+1})\gt 1-(S_k+a_{k+1})\) となり、

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大小関係より、

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これより、\(\small [\,1\,]\) は、\(n=k+1\) のときも成り立つ

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\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(2\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]

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