このページは「高校数学Ⅰ：集合と論理」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】数学Ⅰ：集合と論理
集合の表し方と要素
\({\small (1)}~\)\(6\) 以下の自然数の集合 \(\rm A\) を書き並べて表せ。
\({\small (2)}~\)正の偶数の集合 \(\rm B\) を書き並べて表せ。また、式を用いた集合で表せ。
\({\small (3)}~\)\({\rm C}=\{~x~|~x\)は１けたの素数 \(\}\) とするき、次の[ ]に \( \in \) または \( \notin \) を入れよ。
\({\large ①}\) 3[ ]C \({\large ②}\) 1[ ]C
\({\large ③}\) 8[ ]C \({\large ④}\) 13[ ]C
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【解答】$${\small (1)}~{\rm A}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~\}$$$${\small (2)}~{\rm B}=\{~2~,~4~,~6~,~8~,~\cdots~\}$$ \(~~{\rm B}=\{~2n~|~n\)は自然数\(~\}\)$${\small (3)}~{\large ①}~3\in {\rm C}~~~{\large ②}~1\notin {\rm C}$$$$~~~~~{\large ③}~8\notin {\rm C}~~~{\large ④}~13\notin {\rm C}$$
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集合の包含関係と部分集合
\({\small (1)}~\)次の２つの集合の包含関係を調べよ。
\({\large ①}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(12\) の約数\(~\}\)
\(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(6\) の約数\(~\}\)
\({\large ②}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(8\) の約数\(~\}\)
\(~{\rm B}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}\)
\({\large ③}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は１桁の偶数\(~\}\)
\(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(24\) の約数\(~\}\)
\({\large ④}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は２の倍数\(~\}\)
\(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は６の倍数\(~\}\)
\({\small (2)}~\)１桁の３の倍数の集合 \(\rm A\) の部分集合をすべて答えよ。
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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~{\rm A}\supset{\rm B}~~~{\large ②}~{\rm A}={\rm B}$$$$~~~~~{\large ③}~{\rm A}\subset{\rm B}~~~{\large ④}~{\rm A}\supset{\rm B}$$$${\small (2)}~\{~3~\}~,~\{~6~\}~,~\{~9~\}$$$$~~~~~\{~3~,~6~\}~,~\{~6~,~9~\}~,~\{~3~,~9~\}$$$$~~~~~\{~3~,~6~,~9~\}~,~\phi$$
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共通部分と和集合
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【解答】$${\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$$${\small (2)}~{\rm A} \cup {\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$$${\small (3)}~{\rm B} \cap {\rm C}=\{~2~,~3~,~5~\}$$$${\small (4)}~{\rm A} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~9~\}$$$${\small (5)}~{\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}=\{~3~\}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$
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補集合とド・モルガンの法則
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【解答】$${\small (1)}~\overline {\rm A}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~7~,~8~,~10~\}$$$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9~,~10~\}$$
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数直線と集合
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【解答】$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}=\{~x~|~-2≦x<7~\}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}=\{~x~|~0<x≦4~\}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}=\{~x~|~x≦4~,~7≦x~\}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}=\{~x~|~4<x<7~\}$$
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命題の真偽
\({\small (1)}~\)２つの三角形が合同ならば、それらは面積が等しい
\({\small (2)}~\)ある四角形がひし形ならば、その四角形は平行四辺形である
\({\small (3)}~\)２つの長方形の面積が等しいならば、それらは合同である
\({\small (4)}~\)ある四角形が長方形ならば、その四角形は正方形である
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【解答】
\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽
\({\small (4)}~\)偽
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条件の真偽
\({\small (1)}~ab>0\) ならば \(a>0\) かつ \(b>0\)
\({\small (2)}~a=1\) かつ \(b=2\) ならば \(a+b=3\)
\({\small (3)}~x^2≧9\) ならば \(x≧3\)
\({\small (4)}~3≦x≦4\) ならば \(-1<x\)
\({\small (5)}~n\) が３の倍数ならば \(n\) は６の倍数である
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【解答】
\({\small (1)}~\)偽、反例の１つは \(a=-1~,~b=-2\) のとき
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽、反例の１つは \(x=-4\) のとき
\({\small (4)}~\)真
\({\small (5)}~\)偽、反例の１つは、\(n=9\) のとき
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条件の否定①（かつ・または）
\({\small (1)}~n\) は有理数である
\({\small (2)}~x=3\)
\({\small (3)}~-1≦x<2\)
\({\small (4)}~x>0\) かつ \(y≦0\)
\({\small (5)}~x≧0\) または \(y>-2\)
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【解答】
\({\small (1)}~\)\(n\) が無理数
\({\small (2)}~\)\(x\neq3\)
\({\small (3)}~\)\(x<-1~,~2≦x\)
\({\small (4)}~\)\(x≦0\) または \(y>0\)
\({\small (5)}~\)\(x<0\) かつ \(y≦-2\)
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条件の否定②（すべて・ある・ともに）
\({\small (1)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3>0\)
\({\small (2)}~x^2+2x+3≦0\) を満たす実数 \(x\) が存在する
\({\small (3)}~m~,~n\) がともに有理数である
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【解答】
\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3≦0\)
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2+2x+3>0\)
\({\small (3)}~\)\(m~,~n\) の少なくとも一方が無理数
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必要条件と十分条件
\({\small (1)}~p\)：\(x^2=4\)、\(q\)：\(x=2\)
\({\small (2)}~p\)：\(x~,~y\) がともに有理数、\(q\)：\(xy\)が有理数
\({\small (3)}~p\)：\(xy>0\)、\(q\)：\(x>0\) かつ \(y>0\)
\({\small (4)}~p\)：ある四角形がひし形、\(q\) ：ある四角形が平行四辺形
\({\small (5)}~p\)：２つの正方形が合同、\(q\)：２つの正方形の面積が等しい
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【解答】
\({\small (1)}~\)必要条件
\({\small (2)}~\)十分条件
\({\small (3)}~\)必要条件
\({\small (4)}~\)十分条件
\({\small (5)}~\)必要十分条件
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逆・裏・対偶
\(x=2\) かつ \(y=3\) ならば \(xy=6\)
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【解答】
逆「\(xy=6\) ならば \(x=2\) かつ \(y=3\)」偽
裏「\(x\neq2\) または \(y\neq3\) ならば \(xy\neq6\)」偽
対偶「\(xy\neq6\) ならば \(x\neq2\) または \(y\neq3\)」真
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対偶法
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背理法
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が３の倍数ならば、\(n\) も３の倍数となることを用いてよい。
