数研出版：改訂版高等学校数学Ⅰ

p.48
練習1
\({\small (1)}~\in\)　\({\small (2)}~\in\)　\({\small (3)}~\notin\)

p.49
練習2
\({\small (1)}~{\rm A}=\{1,2,4,5,10,20\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1,3,5,7,9\}\)
\({\small (3)}~{\rm C}=\{1,3,5,7,\cdots\}\)
→ 集合の表し方と要素

p.50
練習3
\({\small (1)}~\rm A\subset B\)　\({\small (2)}~\rm C=D\)　\({\small (3)}~\rm P\supset Q\)

p.50
練習4
\({\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\)
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
→ 集合の包含関係と部分集合

p.51
練習5
\({\small (1)}~\{2,4,6\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
→ 共通部分と和集合

p.51
練習6
\({\small (1)}~\{~x~|~0< x≦2~,~x\)は実数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~-2≦ x < 4~,~x\)は実数\(~\}\)

p.52
練習7
\({\small (1)}~\{1,2,4,5\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)

p.53
練習8
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
　\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則

p.53
研究1
\({\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}=\{6\}\)
\({\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}=\{1,2,3,4,6,8,9,10,12\}\)

p.54
練習9
\({\small (1)}~\)偽　\({\small (2)}~\)真
→ 命題の真偽

p.56
練習10
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)真

p.56
練習11
\(n=2\) のとき、素数であるが奇数ではない
したがって、偽となる
→ 条件の真偽

p.57
練習12
\({\small (1)}~\)十分　\({\small (2)}~\)必要　\({\small (3)}~\)十分

p.58
練習13
①、③

p.58
練習14
\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
→ 必要条件と十分条件

p.58
練習15
\({\small (1)}~n\) は奇数である
\({\small (2)}~n\) は５以上である

p.59
練習16
\({\small (1)}~x< 0\) または \(y< 0\)
\({\small (2)}~x\neq 0\) かつ \(y\neq 0\)
\({\small (3)}~x~,~y\) のうち少なくとも一方が無理数
→ 条件の否定①（かつ・または）

p.60
練習17
\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(x-y> 0~\Rightarrow~x> y\)、真
対偶は、
\(x-y≦0~\Rightarrow~x≦y\)、真
裏は、
\(x≦y~\Rightarrow~x-y≦0\)、真

\({\small (2)}~\)命題は真
逆は、
\(x\neq 0~\Rightarrow~x\cdot y\neq 0\)、偽
対偶は、
\(x=0~\Rightarrow~x\cdot y=0\)、真
裏は、
\(x\cdot y=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
→ 逆と裏と対偶

p.61
練習18
[証明]この命題の対偶は、
　\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると
　\(n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2\)
\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法

p.62
練習19
[証明]\(1+3\sqrt{2}\) が無理数でないと仮定すると
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる
　\(1+3\sqrt{2}=r\)
式変形すると、
　\(\sqrt{2}={\Large \frac{r-1}{3}}\)
\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{r-1}{3}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) が無理数である
→ 背理法

p.64
1
\({\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}=\{1,2,4,8\}\)
\({\rm A} \cup {\rm B}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,16\}\)
\({\small (2)}~{\rm A} \cap {\rm B}=\{-1,1\}\)
\({\rm A} \cup {\rm B}=\{-2,-1,0,1,2,3\}\)

p.64
2
\({\small (1)}~\{3,5\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{4,6,7,9\}\)
\({\small (4)}~\{2,8\}\)

p.64
3
真

p.64
4
ア:\(1\)　イ:\(2\)　ウ:\(0\)

p.65
1
\({\rm A}=\{3,6,9\}\)
\({\rm B}=\{3,4,7,10\}\)

p.65
2
逆は、
\(m,n,k\) の少なくとも１つは偶数\(~\Rightarrow~\)積 \(mnk\) は偶数→真
対偶は、
\(m,n,k\) はいずれも奇数\(~\Rightarrow~\)積 \(mnk\) は奇数→真
裏は、
積 \(mnk\) は奇数\(~\Rightarrow~\)\(m,n,k\) はいずれも奇数→真

p.65
3
\(a=4~,~{\rm A} \cup {\rm B}=\{1,4,5,6\}\)

p.65
4
\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\)真

p.65
5
\({\small (1)}~\)[証明]\(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より
　\(\sqrt{2}=-{\Large \frac{a}{b}}\)
ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a}{b}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で \(a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0\) [終]

\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)

p.66
発展1
\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について、\(x+1≧0\) →真
\({\small (2)}~\)すべての素数 \(n\) について、\(n+2\) は素数でない →偽、反例は \(n=3\)
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）