数研出版：改訂版新編数学Ａ

p.107
練習1
\({\small (1)}~\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12\)
\({\small (2)}~6,12,18,24,30\)
→ 約数と倍数

p.107
練習2
\({\small (1)}~\)[証明]\(a,b\) は４の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=4m,b=4n\)
これより、
　\(a-b=4(m-n)\)
\(m-n\) は整数であるので、\(a-b\) は４の倍数である[終]

\({\small (2)}~\)[証明] \(a,a+b\) は５の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=5m,a+b=5n\)
これより、
　\(~~~~~~b\)
　\(~=a+b-a\)
　\(~=5(n-m)\)
\(n-m\) は整数であるので、\(b\) は５の倍数である[終]

p.108
練習3
\({\small (1)}~3\) の倍数であり、\(9\) の倍数でない
\({\small (2)}~3\) の倍数でも \(9\) の倍数でもない
\({\small (3)}~3\) の倍数でも \(9\) の倍数でもある

p.108
練習4
\(0\)
→ 倍数判別法

p.109
練習5
\({\small (1)}~2^4\cdot3^2\)　\({\small (2)}~2^2\cdot3^2\cdot5\)　\({\small (3)}~3\cdot5^2\cdot7\)
→ 素因数分解

p.110
練習6
\(42\)

p.111
練習7
\({\small (1)}~1,3,5,9,15,45\)
\({\small (2)}~1,2,4,7,8,14,28,56\)
\({\small (3)}~1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\)

p.111
練習8
\({\small (1)}~6\) 個　\({\small (2)}~9\) 個　\({\small (3)}~18\) 個
→ 約数の個数・平方数

p.112
研究1
\({\small (1)}~(x,y)=(4,-1)~,~(6,-3)\)
　　　　\((2,-7)~,~(0,-5)\)
\({\small (2)}~(x,y)=(2,11)~,~(7,6)~,~(3,8)\)
　　　　\((4,7)~,~(0,-1)~,~(-5,4)\)
　　　　\((-1,2)~,~(-2,3)\)

p.113
練習9
\(12\)

p.113
練習10
\(45\)

p.115
練習11
\({\small (1)}~12,360\)　\({\small (2)}~35,4200\)

p.115
練習12
\(4,1260\)

p.116
練習13
\(20,60,180\)
→ 最大公約数と最小公倍数

p.116
練習14
\(1,5,7,11\)

p.117
練習15
[証明] \(a+1\) は５の倍数より、整数 \(m\) を用いると、
　\(a+1=5m\)
これより、
　\(~~~~~~a+11\)
　\(~=a+1+10\)
　\(~=5(m+2)\)
\(m+2\) は整数であるので、\(a+1\) は５の倍数である
次に、\(a+2\) は９の倍数より、整数 \(n\) を用いると、
　\(a+2=5n\)
これより、
　\(~~~~~~a+11\)
　\(~=a+2+9\)
　\(~=9(n+1)\)
\(n+1\) は整数であるので、\(a+2\) は９の倍数である
以上より、５と９は互いに素であるので、\(a+11\) は５の倍数かつ９の倍数の45の倍数である[終]

p.118
研究1
\((a,b)=(15,180)~,~(45,60)\)

p.119
練習16
\({\small (1)}~\)商 \(4\) 余り \(4\)
\({\small (2)}~\)商 \(-7\) 余り \(1\)

p.119
練習17
\(-22\)

p.120
練習18
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~3\)　\({\small (3)}~2\)　\({\small (4)}~0\)
→ 除法の性質

p.121
練習19
[証明]連続する２つの偶数を整数 \(k\) を用いて、\(2k,2k+2\) とする
これらの２乗の和から４を引いた数は、
　\(~~~~~~(2k)^2+(2k+2)^2-4\)
　\(~=8k(k+1)\)
ここで連続する２つの整数 \(k,k+1\) の少なくとも一方は２の倍数であり \(k(k+1)\) は２の倍数となる
よって、\(8k(k+1)\) は16の倍数となる
したがって、連続する２つの偶数の２乗の和から４を引いた数は16の倍数である[終]

p.122
練習20
[証明]すべての整数を４で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
　\(n^2=4\cdot 4k^2\)
\(n^2\) が４で割り切れるので不適
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
\(n^2\) が４で割り切れるので不適
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\)
したがって、(ⅱ)と(ⅳ)のとき、\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\) となる[終]
→ 整数の分類と証明

p.123
研究1
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~1\)

p.125
1
\({\small (1)}~\)[証明]\(a,b\) は３の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=3m,b=3n\)
これより、
　\(2a+b=3(2m+n)\)
\(2m+n\) は整数であるので、\(2a+b\) は３の倍数である[終]

\({\small (2)}~\)[証明]\(a,b\) は３の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=3m,b=3n\)
これより、
　\(~~~~~~a^2+ab+b^2\)
　\(~=9(m^2+mn+n^2)\)
\(m^2+mn+n^2\) は整数であるので、\(a^2+ab+b^2\) は９の倍数である[終]

p.125
2
\({\small (1)}~\)自然数 \(n\) の十の位の数を \(a\)、一の位の数を \(b\) として、整数 \(k~(k≧0)\) を用いて、
　\(n=100k+10a+b\)
と表すことができる
ここで、\(100k=4\cdot 25k\) より４の倍数となるので
\(n\) が４の倍数となるためには、\(10a+b\) が４の倍数であればよい
したがって、下２桁が４の倍数のときとなる

\({\small (2)}~\)自然数 \(n\) の百の位の数を \(a\)、十の位の数を \(b\)、一の位の数を \(c\) として、整数 \(k~(k≧0)\) を用いて、
　\(n=1000k+100a+100b+c\)
と表すことができる
ここで、\(1000k=8\cdot 125k\) より８の倍数となるので
\(n\) が８の倍数となるためには、\(100a+10b+c\) が８の倍数であればよい
したがって、下３桁が８の倍数のときとなる

p.128
練習21
\({\small (1)}~37\)　\({\small (2)}~29\)　\({\small (3)}~19\)
→ ユークリッドの互除法

p.130
練習22
\({\small (1)}~x=3~,~y=-7\)
\({\small (2)}~x=15~,~y=-35\)
→ 不定方程式②（互除法）

p.132
練習23
\({\small (1)}~x=7k+2~,~y=-4k-1\)　\(k\) は整数
\({\small (2)}~x=7k+3~,~y=5k+2\)　\(k\) は整数

p.133
練習24
\(x=32k+12~,~y=-43k-16\)
\(k\) は整数
→ 不定方程式①

p.134
練習25
\(1078\)
→ 不定方程式の利用

p.135
3
\(x=20~,~y=-35\)

p.135
4
\(x=19k-8~,~y=33k-14\)　\(k\) は整数

p.136
練習26
\({\small (1)}~0.9\)　\({\small (2)}~0.125\)　\({\small (3)}~1.1\dot{6}\)　\({\small (4)}~2.\dot{2}\dot{4}\)

p.138
練習27
\(3\)

p.139
練習28
\({\Large \frac{7}{4}}~,~{\Large \frac{9}{40}}~,~{\Large \frac{1}{125}}\)
→ 分数と小数

p.141
練習29
\({\small (1)}~36\)　\({\small (2)}~59\)　\({\small (3)}~236\)　\({\small (4)}~55\)
→ n進法①（10進法で表す）

p.141
練習30
\({\small (1)}~101101_{(2)}\)　\({\small (2)}~110111_{(2)}\)
\({\small (3)}~10201_{(3)}\)
→ n進法②（n進法で表す）

p.142
練習31
\(0.1101_{(2)}\)
→ n進法と小数

p.143
5
\({\small (1)}~142_{(8)}\)
\({\small (2)}~2011_{(3)}\)

p.143
6
\(113_{(5)}\)

p.144
1
\({\small (1)}~35\)　\({\small (2)}~15\)

p.144
2
\(12\)

p.144
3
\(15\)

p.144
4
[証明]すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3k(9k^2+2)\)
よって、３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3(3k+1)(3k^2+2k+1)\)
よって、３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3(3k+2)(3k^2+4k+2)\)
よって、３の倍数となる
したがって、\(n(n^2+2)\) は３の倍数である[終]

p.144
5
\(159\)

p.144
6
\({\small (1)}~x=14k+3~,~y=33k+7\)
\(k\) は整数
\({\small (2)}~x=11k-8~,~y=-30k+22\)
\(k\) は整数

p.144
7
\(17\)

p.144
8
\({\small (1)}~1220_{(5)}\)　\({\small (2)}~0.375\)
\({\small (3)}~0.0111_{(2)}\)

p.145
9
\({\small (1)}~24\)　\({\small (2)}~24\)

p.145
10
\(3\)

p.145
11
\(a=18~,~b=60~,~c=210\)
または
\(a=36~,~b=60~,~c=210\)

p.145
12
[証明] \(a+1\) を \(a\) で割った余りは \(1\) となるので、
　\(a+1=a\cdot 1+1\)
これより、ユークリッドの互除法を用いると \(a+1\) と \(a\) の最大公約数は、\(a\) と \(1\) の最大公約数に等しい
\(a\) と \(1\) の最大公約数は \(1\) であるので \(a\) と \(1\) の最大公約数も \(1\) である
したがって、\(a\) と \(a+1\) は互いに素である[終]

p.145
13
[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する２つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が３の倍数となる
(ⅰ)～(ⅲ)のどの場合でも３の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は６の倍数である[終]

p.145
14
商品Ａ \(7\) 個、商品Ｂ \(13\) 個

p.145
15
\(7\)