このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅰ[701]
５章 データの分析
５章 データの分析
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
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Advanced数学Ⅰ １章 数と式
Advanced数学Ⅰ ２章 集合と論証
Advanced数学Ⅰ ３章 ２次関数
Advanced数学Ⅰ ４章 図形と計量
Advanced数学Ⅰ ５章 データの分析
５章 データの分析
１節 データの散らばりと大きさ
p.173 問6\(x~,~y\) の平均値を \(\overline {x}~,~\overline {y}\) とすると、
\(~~~\overline {y}=a\overline {x}+b\)
\(x~,~y\) の分散を \(s_x^2~,~s_y^2\) とすると、
\(~~~s_y^2=a^2s_x^2\)
\(x~,~y\) の標準偏差を \(s_x~,~s_y\) とすると、
\(~~~s_y=|\, a \,| s_x\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
\(~~~\overline {y}=a\overline {x}+b\)
\(x~,~y\) の分散を \(s_x^2~,~s_y^2\) とすると、
\(~~~s_y^2=a^2s_x^2\)
\(x~,~y\) の標準偏差を \(s_x~,~s_y\) とすると、
\(~~~s_y=|\, a \,| s_x\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
p.174 問7変数 \(y\) は、変数 \(x\) の \(n\) 個の値より、
\(\begin{eqnarray}~~~y_1&=&ax_1+b\\[2pt]~~~y_2&=&ax_2+b\\[2pt]~~~&\vdots&\\[2pt]~~~y_n&=&ax_n+b\end{eqnarray}\)
変数 \(y\) の平均値 \(\overline {y}\) より、
\(~~~n\overline {y}=y_1+y_2+\cdots+y_n\)
上の式を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n\overline {y}&=&(ax_1+b)+\cdots+(ax_n+b)\\[2pt]~~~n\overline {y}&=&(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb\end{eqnarray}\)
両辺を \(n\) で割ると、
\(~~~\overline {y}=a\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}+b\)
ここで、
\(~~~\overline {x}=\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}\) より、
\(~~~\overline {y}=a\overline {x}+b\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
\(\begin{eqnarray}~~~y_1&=&ax_1+b\\[2pt]~~~y_2&=&ax_2+b\\[2pt]~~~&\vdots&\\[2pt]~~~y_n&=&ax_n+b\end{eqnarray}\)
変数 \(y\) の平均値 \(\overline {y}\) より、
\(~~~n\overline {y}=y_1+y_2+\cdots+y_n\)
上の式を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n\overline {y}&=&(ax_1+b)+\cdots+(ax_n+b)\\[2pt]~~~n\overline {y}&=&(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb\end{eqnarray}\)
両辺を \(n\) で割ると、
\(~~~\overline {y}=a\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}+b\)
ここで、
\(~~~\overline {x}=\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}\) より、
\(~~~\overline {y}=a\overline {x}+b\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
２節 データの相関
p.180 問1５人の身長をミリメートルにすると、
\(~~~1800~,~1720~,~1650~,~1720~,~1660\)
平均値 \(\overline{x}\) は、
\(~~~\overline{x}=1710\)
\(x-\overline{x}\) は、
\(~~~90~,~10~,~-60~,~10~,~-50\)
\((x-\overline{x})^2\) は、
\(~~~8100~,~100~,~3600~,~100~,~2500\)
合計 \(14400\) となる
\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) は、
\(~~~450~,~90~,~300~,~20~,~550\)
合計 \(1410\) となる
これより、相関係数 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}1410\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1410\,}{\,\sqrt{\,14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&0.734\cdots
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&0.73\end{eqnarray}\)
よって、\(r=0.73\) となり、相関係数の値は変わらない
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
\(~~~1800~,~1720~,~1650~,~1720~,~1660\)
平均値 \(\overline{x}\) は、
\(~~~\overline{x}=1710\)
\(x-\overline{x}\) は、
\(~~~90~,~10~,~-60~,~10~,~-50\)
\((x-\overline{x})^2\) は、
\(~~~8100~,~100~,~3600~,~100~,~2500\)
合計 \(14400\) となる
\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) は、
\(~~~450~,~90~,~300~,~20~,~550\)
合計 \(1410\) となる
これより、相関係数 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}1410\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1410\,}{\,\sqrt{\,14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&0.734\cdots
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&0.73\end{eqnarray}\)
よって、\(r=0.73\) となり、相関係数の値は変わらない
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
３節 データの分析の応用
p.185 問1① 紙の書籍と電子書籍のとちらが読みやすいか。
② 学年とコースが同じであるＡ組とＢ組の３５人ずつに、ある作家のエッセイをＡ組は紙の書籍でＢ組には電子書籍で読み終わるまでに掛かった時間を計測する実験を計画。
③ 実験を行い、読むのに掛かった時間を秒単位で回答してもらった。また、誤記と思われる回答の値を小さい順に並べて度数分布表に整理した。
④ 組ごとに結果をヒストグラムで表して、グラフを比較する。
② 学年とコースが同じであるＡ組とＢ組の３５人ずつに、ある作家のエッセイをＡ組は紙の書籍でＢ組には電子書籍で読み終わるまでに掛かった時間を計測する実験を計画。
③ 実験を行い、読むのに掛かった時間を秒単位で回答してもらった。また、誤記と思われる回答の値を小さい順に並べて度数分布表に整理した。
④ 組ごとに結果をヒストグラムで表して、グラフを比較する。
p.185 問2電子書籍の方がデータの散らばりが大きい
p.186 問3\({\small (1)}~\)電力需要実績の最高気温、平均気温、日照時間のそれぞれの散布図を作り、相関を調べる。
\({\small (2)}~\)
\({\small (2)}~\)
電力需要実績と平均気温の相関が一番大きい
p.187 問4\({\small (1)}~\)平日と休日それぞれの電力需要実績のヒストグラムを作り、データの散らばりを調べる。
\({\small (2)}~\)
\({\small (2)}~\)
平日の方が休日より電力需要実績の度合いが大きい
p.187 問5
平日の相関係数 \(0.92\)
休日の相関係数 \(0.93\)
４節 仮説検定の考え方
