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１章 数と式
２章 集合と論証
３章 ２次関数
４章 図形と計量
５章 データの分析
４章 図形と計量
１節 鋭角の三角比
p.125 問1$${\small (1)}~\sin{A}={ \frac{\,4\,}{\,5\,}}~,~\cos{A}={ \frac{\,3\,}{\,5\,}}$$$$~~~~~~\tan{A}={ \frac{\,4\,}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~\sin{A}={ \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,4\,}}~,~\cos{A}={ \frac{\,3\,}{\,4\,}}$$$$~~~~~~\tan{A}={ \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,3\,}}$$
p.126 問2$${\small (1)}~\sin{A}={ \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}}~,~\cos{A}={ \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,}}$$$$~~~~~~\tan{A}={ \frac{\,3\,}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~\sin{A}={ \frac{\,8\,}{\,17\,}}~,~\cos{A}={ \frac{\,15\,}{\,17\,}}$$$$~~~~~~\tan{A}={ \frac{\,8\,}{\,15\,}}$$$${\small (3)}~\sin{A}={ \frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,7\,}}~,~\cos{A}={ \frac{\,2\,}{\,7\,}}$$$$~~~~~~\tan{A}={ \frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,2\,}}$$→ 直角三角形と三角比
p.127 問3$${\small (1)}~0.2588$$$${\small (2)}~0.3907$$$${\small (3)}~0.7813$$
p.127 問4$${\small (1)}~75^\circ$$$${\small (2)}~23^\circ$$$${\small (3)}~67^\circ$$
p.127 問5$$~~~27^\circ$$
p.128 問6$$~~~5\sqrt{2}$$
p.128 問7$$~~~2\sqrt{3}$$→ 三角比の値（鋭角）
p.129 問8$$~~~162~{\rm m}$$
p.129 問9$$~~~360~{\rm cm}$$
p.130 問10$$~~~\cos{A}={ \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}}~,~\tan{A}={ \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{2}\,}}$$
p.131 問11$$~~~\cos{A}={ \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}}~,~\sin{A}={ \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}}$$→ 三角比の相互関係の公式（鋭角）
p.132 問12$${\small (1)}~\cos{34^\circ}$$$${\small (2)}~\sin{3^\circ}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,1\,}{\,\tan{18^\circ}\,}}$$→ 余角の公式
p.133 問題5\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、$$~~~{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}=90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}$$ここで、\(\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}\) より、$$~~~\sin{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}=\sin{\left(90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}\right)}=\cos{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$したがって、$$~~~\sin{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}=\cos{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、$$~~~~~~\tan{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$$$~=\tan{\left(90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}\right)}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$ここで、\(\tan{(90^\circ-\theta)}={\large \frac{1}{\tan{\theta}}}\) より、$$~={ \frac{\,1\,}{\,\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}=1$$
したがって、$$~~~\tan{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}=1$$[終]
\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、$$~~~{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}=90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}$$ここで、\(\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}\) より、$$~~~\sin{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}=\sin{\left(90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}\right)}=\cos{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$したがって、$$~~~\sin{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}=\cos{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、$$~~~~~~\tan{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$$$~=\tan{\left(90^\circ-{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}\right)}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}$$ここで、\(\tan{(90^\circ-\theta)}={\large \frac{1}{\tan{\theta}}}\) より、$$~={ \frac{\,1\,}{\,\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}=1$$
したがって、$$~~~\tan{{ \frac{\,{\rm A+B}\,}{\,2\,}}}\tan{{ \frac{\,{\rm C}\,}{\,2\,}}}=1$$[終]
p.133 問題6\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの正弦の値がわかれば、$$~~~\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$この公式より、\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの余弦の値がわかる
また、\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの正弦と余弦の値より、$$\begin{eqnarray}~~~\sin{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\cos{\theta}\\[2pt]~~~\cos{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\sin{\theta}\end{eqnarray}$$この公式より、\(46^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値がわかる
また、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値より、$$~~~\tan{\theta}=\frac{\,\sin{\theta}\,}{\,\cos{\theta}\,}$$この公式より、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正接の値がわかる
また、\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの正弦と余弦の値より、$$\begin{eqnarray}~~~\sin{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\cos{\theta}\\[2pt]~~~\cos{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\sin{\theta}\end{eqnarray}$$この公式より、\(46^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値がわかる
また、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値より、$$~~~\tan{\theta}=\frac{\,\sin{\theta}\,}{\,\cos{\theta}\,}$$この公式より、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正接の値がわかる
２節 三角比と座標
p.137 問1$$~~~\sin{135^\circ}={ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}~,~\cos{135^\circ}=-{ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}$$$$~~~\tan{135^\circ}=-1$$$$~~~\sin{150^\circ}={ \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~\cos{150^\circ}=-{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}$$$$~~~\tan{135^\circ}=-{ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}}$$→ 三角比の拡張
p.139 問2$${\small (1)}~60^\circ~,~120^\circ$$$${\small (2)}~180^\circ$$
p.139 問3$$~~~60^\circ$$
p.140 問4$${\small (1)}~60^\circ$$$${\small (2)}~135^\circ$$→ 三角比と方程式
p.141 問5$$~~~-\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}$$
p.141 問6$${\small (1)}~120^\circ$$$${\small (2)}~45^\circ$$→ 直線の傾きと正接
p.143 問7\({\small (1)}~\)
\(\theta\) が鋭角のとき$$~~~\cos{\theta}={ \frac{\,12\,}{\,13\,}}~,~\tan{\theta}={ \frac{\,5\,}{\,12\,}}$$\(\theta\) が鈍角のとき$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{\,12\,}{\,13\,}}~,~\tan{\theta}=-{ \frac{\,5\,}{\,12\,}}$$\({\small (2)}~\)$$~~~\sin{\theta}={ \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}}~,~\tan{\theta}=-\sqrt{15}$$
\(\theta\) が鋭角のとき$$~~~\cos{\theta}={ \frac{\,12\,}{\,13\,}}~,~\tan{\theta}={ \frac{\,5\,}{\,12\,}}$$\(\theta\) が鈍角のとき$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{\,12\,}{\,13\,}}~,~\tan{\theta}=-{ \frac{\,5\,}{\,12\,}}$$\({\small (2)}~\)$$~~~\sin{\theta}={ \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}}~,~\tan{\theta}=-\sqrt{15}$$
p.143 問8$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,10\,}}~,~\sin{\theta}={ \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,10\,}}$$→ 三角比の相互関係の公式（鈍角）
p.144 問9$${\small (1)}~0.6428$$$${\small (2)}~-0.4695$$$${\small (3)}~-0.3057$$→ 補角の公式
p.145 問題10[証明]
\(\tan{\theta}={\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) より、\({\large \frac{1}{\tan^2{\theta}}}={\large \frac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
これより、
(左辺)$$~=1+{ \frac{\,\cos^2{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$$$~={ \frac{\,\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$ここで、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) より$$~={ \frac{\,1\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$よって、右辺と等しくなる
したがって、$$~~~1+{ \frac{\,1\,}{\,\tan^2{\theta}\,}}={ \frac{\,1\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$[終]
→ 三角比の等式証明
\(\tan{\theta}={\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) より、\({\large \frac{1}{\tan^2{\theta}}}={\large \frac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
これより、
(左辺)$$~=1+{ \frac{\,\cos^2{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$$$~={ \frac{\,\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$ここで、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) より$$~={ \frac{\,1\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$よって、右辺と等しくなる
したがって、$$~~~1+{ \frac{\,1\,}{\,\tan^2{\theta}\,}}={ \frac{\,1\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$$[終]
→ 三角比の等式証明
３節 三角形への応用
p.147 問1$$~~~\sqrt{2}$$
p.149 問2$$~~~4$$
p.149 問3$$~~~4\sqrt{2}$$
p.149 問4$$~~~\frac{\,10\sqrt{6}\,}{\,3\,}$$→ 正弦定理
p.150 問5$$~~~3\sqrt{7}$$
p.152 問6$$~~~\sqrt{7}$$
p.152 問7$$~~~2$$
p.152 問8$$~~~{\rm C}=60^\circ$$→ 余弦定理
p.153 問9\({\small (1)}~\)鈍角
\({\small (2)}~\)鋭角
\({\small (2)}~\)鋭角
p.154 問11$$~~~b=2\sqrt{2}~,~{\rm A}=60^\circ~,~{\rm C}=75^\circ$$
p.155 発展 問1\({\small (1)}~{\rm AC=BC}\) の二等辺三角形
\({\small (2)}~{\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
または、\({\rm B}=90^\circ\) の直角三角形
\({\small (2)}~{\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
または、\({\rm B}=90^\circ\) の直角三角形
p.156 問12$${\small (1)}~{ \frac{\,5\sqrt{3}\,}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~7\sqrt{2}$$
p.156 問13$$~~~14\sqrt{3}$$→ 三角形の面積（三角比）
p.157 問14$$~~~{\rm AD}=1~,~S=6\sqrt{3}$$→ 円に内接する四角形
p.158 問15$$~~~{ \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,3\,}}$$→ 内接円の半径
p.159 問16$$~~~3\sqrt{14}$$→ 直方体の計量
p.160 問17$$~~~{ \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,12\,}}a^3$$→ 正四面体の計量
p.163 発展 問1$$~~~10\sqrt{2}$$
練習問題 図形と計量
p.164 練習問題Ａ 1[証明] \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とすると、
\(\cos{{\rm B}}={\rm \large \frac{BH}{AB}}\)
これより、
\({\rm BH}=c\cos{{\rm B}}\)
また、
\(\cos{{\rm C}}={\rm \large \frac{CH}{AC}}\)
これより、
\({\rm CH}=b\cos{{\rm C}}\)
したがって、\({\rm BC=CH+BH}\) より、
\(a=b\cos{{\rm C}}+c\cos{{\rm B}}\) [終]
\(\cos{{\rm B}}={\rm \large \frac{BH}{AB}}\)
これより、
\({\rm BH}=c\cos{{\rm B}}\)
また、
\(\cos{{\rm C}}={\rm \large \frac{CH}{AC}}\)
これより、
\({\rm CH}=b\cos{{\rm C}}\)
したがって、\({\rm BC=CH+BH}\) より、
\(a=b\cos{{\rm C}}+c\cos{{\rm B}}\) [終]
p.164 練習問題Ａ 2[証明] 正弦定理より、
\({\large \frac{c}{\sin{{\rm C}}}}=2R\)
これより、
\(\sin{{\rm C}}={\large \frac{c}{2R}}\)
また、面積公式は、
\(S={\large \frac{1}{2}}bc\sin{{\rm C}}\)
上の式を代入すると、
\(S={\large \frac{1}{2}}bc{\large \frac{c}{2R}}\)
したがって、
\(S={\large \frac{abc}{4R}}\) [終]
\({\large \frac{c}{\sin{{\rm C}}}}=2R\)
これより、
\(\sin{{\rm C}}={\large \frac{c}{2R}}\)
また、面積公式は、
\(S={\large \frac{1}{2}}bc\sin{{\rm C}}\)
上の式を代入すると、
\(S={\large \frac{1}{2}}bc{\large \frac{c}{2R}}\)
したがって、
\(S={\large \frac{abc}{4R}}\) [終]
p.165 練習問題Ｂ 7[証明]
対角線の交点を \({\rm O}\) とすると、
\(\triangle {\rm DOC}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OD}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm AOD}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm AOB}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm BOC}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
これら４つの三角形の面積の和が、四角形の面積 \(S\) となるので、
\(S= {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OD}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
\(+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
\(~+{\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
\(~~+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
因数分解すると、
\(S={\large \frac{1}{2}}({\rm OA+OC})({\rm OB+OD})\sin{\theta}\)
ここで、\({\rm OA+OC}=l~,~{\rm OB+OD}=m\) より、
\(S={\large \frac{1}{2}}lm\sin{\theta}\) [終]
対角線の交点を \({\rm O}\) とすると、
\(\triangle {\rm DOC}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OD}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm AOD}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm AOB}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm BOC}\) の面積は
\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
これら４つの三角形の面積の和が、四角形の面積 \(S\) となるので、
\(S= {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OD}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
\(+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
\(~+{\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
\(~~+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
因数分解すると、
\(S={\large \frac{1}{2}}({\rm OA+OC})({\rm OB+OD})\sin{\theta}\)
ここで、\({\rm OA+OC}=l~,~{\rm OB+OD}=m\) より、
\(S={\large \frac{1}{2}}lm\sin{\theta}\) [終]
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