【新課程】東京書籍：Advanced数学Ⅰ[701]

p.52 問1$${\small (1)}~\in~,~\notin$$$${\small (2)}~\notin~,~\in$$

p.53 問2$${\small (1)}~\{2,3,5,7\}$$$${\small (2)}~\{1,3,5,7,\cdots,99\}$$$${\small (3)}~\{-2,2\}$$$${\small (4)}~\{10,15,20,\cdots\}$$

p.53 問3\({\small (1)}~\{~x~|~x\) は１桁の奇数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~x\) は \(11\) 以下の素数\(~\}\)
→ 集合の表し方と要素

p.54 問4$$~~~{\rm A~,~C~,~D}$$

p.54 問5$$~~~{\rm B}$$→ 集合の包含関係と部分集合

p.55 問6$${\small (1)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{2,3,5\}$$$$~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,2,3,4,5,7\}$$$${\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{-2< x≦0\}$$$$~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{-5≦x< 6\}$$

p.56 問7$$~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C} =\{2,4\}$$$$~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C} =\{1,2,3,4,5,6,8,10,16\}$$→ 共通部分と和集合

p.56 問8$$~~~\phi,\{3\} ,\{4\} ,\{5\} $$$$~~~\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{3,5\} ,\{3,4,5\} $$

p.57 問9$${\small (1)}~\{1,3,5,7,8,9\}$$$${\small (2)}~\{2,6\}$$$${\small (3)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$$${\small (4)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$

p.57 問10\(\overline {{\rm A}}\) と \(\overline {{\rm B}}\) はそれぞれ次のようになる


したがって、\({\rm A}\subset{\rm B}\) ならば \(\overline {{\rm A}}\supset\overline {{\rm B}}\) である

p.58 問11全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、 $$~~~ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $$ をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、 $$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$

p.58 問12$$~~~\{5,8,9\}$$→ 補集合とド・モルガンの法則

p.58 問題 2全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、\({\rm A}\cap{\rm B}=\phi\) であるとき、$$~~~ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $$ をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、 $$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
また、$$~~~ \overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}} $$ をベン図で表すと、

この２つの共通部分となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cup {\rm B} \) の補集合となるので、 $$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

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全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、\({\rm A}\subset{\rm B}\) であるとき、$$~~~ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $$ をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、 $$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
また、$$~~~ \overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}} $$ をベン図で表すと、

この２つの共通部分となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cup {\rm B} \) の補集合となるので、 $$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

p.59 問1\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
→ 命題の真偽

p.59 問2$$~~~x> -4$$

p.61 問3\({\small (1)}~\)偽
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)真
\({\small (4)}~\)偽

p.61 問4\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽、反例は \(x=0\)
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(n=2\)
→ 条件の真偽

p.62 問5\({\small (1)}~\)必要条件であるが、十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが、必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件でも十分条件でもない
→ 必要条件と十分条件

p.63 問6$${\small (1)}~x\neq-2$$$${\small (2)}~x>3$$\({\small (3)}~x\) は有理数である

p.63 問7\({\small (1)}~x<1\) または \(y>4\)
\({\small (2)}~x>5\) かつ \(y≦8\)
\({\small (3)}~x+y\) は有理数 または \(xy\) は無理数
→ 条件の否定①（かつ・または）

p.64 問8\({\small (1)}~\)
　逆は、\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)→真
　裏は、\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)→真
　対偶は、\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)→真
 
\({\small (2)}~\)逆は、
　\(n\) は \(12\) の約数 \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数→偽
裏は、
　\(n\) は \(6\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(12\) の約数でない→偽
対偶は、
　\(n\) は \(12\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数でない→真
→ 逆と裏と対偶

p.65 問9[証明] この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2+1=(2m)^2+1=2\cdot 2m^2+1$$\(2m^2\) が整数より \(n^2+1\) は奇数である
したがって、対偶が真より、もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法

p.66 問10[証明] 青の箱に \(a\) 個、黄の箱に \(b\) 個、赤の箱に \(c\) 個の球を入れたとすると、球の合計が \(8\) 個より、$$~~~a+b+c=8$$次に、入っている球が \(2\) 個以下の箱がないと仮定すると、それぞれ \(3\) 個以上入るので$$~~~a≧3~,~b≧3~,~c≧3$$よって、これらの和は、$$~~~a+b+c≧9$$これは \(a+b+c=8\) に矛盾する
したがって、入っている球が \(2\) 以下の箱がある [終]

p.67 問11[証明] \(\sqrt{3}\) が無理数でないと仮定すると
\(\sqrt{3}\) は有理数となり、\(1\) 以外の公約数をもたない自然数 \(m~,~n\) を用いて、$$~~~\sqrt{3}=\frac{\,m\,}{\,n\,}~~~\cdots{\large ①}$$と表される
両辺を２乗して整理すると、$$~~~m^2=3n^2~~~\cdots{\large ②}$$ここで、\(m^2\) は３の倍数であり \(m\) も３の倍数となる(p.65 問9)
よって、自然数 \(k\) を用いて \(m=3k\) と表される
②に代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~(3k)^2&=&3n^2\\[2pt]~~~n^2&=&3k^2\end{eqnarray}$$\(n^2\) は３の倍数であり \(n\) も３の倍数となる
\(m~,~n\) はともに３の倍数となり、これは\(1\) 以外の公約数をもたないに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) が有理数でない
すなわち、\(\sqrt{3}\) が無理数である [終]
→ 背理法

p.68 発展 問1\({\small (1)}~\)偽
\({\small (2)}~\)真

p.69 発展 問2\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽

p.69 発展 問3\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について \(x^2 < 0\)
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について \(x^2=2\)
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）

p.70 問題 3①

図より \({\rm P\subset R}\) となるので、\(p\) は \(r\) の十分条件である
 
②

図より \({\rm R\subset P}\) となるので、\(r\) は \(p\) の十分条件である
したがって、\(p\) は \(r\) の必要条件でも十分条件でもないとは限らない

p.70 問題 7[証明] この命題の対偶は、
\(x=0\) かつ \(y=0\) ならば \(x^2+y^2=0\) である
となるので、これは真となる
したがって、もとの命題も真となり
\(x^2+y^2\neq0\) ならば \(x\neq0\) または \(y\neq0\) である[終]

p.70 問題 8[証明]
(ⅰ) \(p~\Rightarrow~q\) について、
\(x>0\) かつ \(y>0\) より
この２数の和や積も正の数となるので
　\(x+y>0\) かつ \(xy>0\)
よって、真となる
 
(ⅱ) \(q~\Rightarrow~p\) について、
\(xy>0\) より、この２数は同符号となる
また、\(x+y>0\) より、この２数はともに正の数となるので
　\(x>0\) かつ \(y>0\)
よって、真となる
 
したがって、(ⅰ)と(ⅱ)より
\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件である[終]

p.71 練習問題 4[証明] この命題の対偶は、
正の数 \(a~,~b\) について、\(a≦5\) かつ \(b≦5\) ならば \(a^2+b^2≦50\)
　\(a≦5\) より、\(a^2≦25\)
　\(b≦5\) より、\(b^2≦25\)
これらより、\(a^2+b^2≦50\)
したがって、対偶が真となるので、もとの命題も真となる [終]

p.71 練習問題 5[証明] \(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より$$~~~\sqrt{2}=-{ \frac{\,a\,}{\,b\,}}$$ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で $$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$ [終]