東京書籍：Advanced数学Ⅰ[701]

p.128 問6\(~~~5\sqrt{2}\)

解法のPoint｜三角比の値と辺の長さ

p.128 問7\(~~~2\sqrt{3}\)

解法のPoint｜三角比の値と辺の長さ

p.129 問8\(~~~162~{\rm m}\)

p.129 問9\(~~~360~{\rm cm}\)

解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値

p.130 問10\(~~~\cos{A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{2}\,}\)

p.131 問11\(~~~\cos{A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~\sin{A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\)

解法のPoint｜tanθの値と残りの三角比の値

p.132 問12\({\small (1)}~\cos{34^\circ}\)　　\({\small (2)}~\sin{3^\circ}\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{18^\circ}\,}\)

解法のPoint｜90°-θの三角比の値

問題

p.133 問題 1　\(2-\sqrt{\,3\,}\)

p.133 問題 2　約 \(634~{\rm m}\)

p.133 問題 3\({\small (1)}~c\sin {A}\)　　\({\small (2)}~c\sin {A}\cos {A}\)
\({\small (3)}~c\sin^2 {A}\)

解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値

p.133 問題 4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}\)

\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\)

解法のPoint｜90°-θの三角比の値

p.133 問題 5\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、

\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{A}+{B}&=&180^\circ-{C}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}&=&\sin \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)

ここで、\(\sin (90^\circ-\theta)=\cos \theta\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\sin \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right)&=&\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

したがって、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) となる

\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\tan \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\right) \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\tan (90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\,}{\, \small \times \,}\tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

したがって、\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}+{B}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{C}\,}{\,2\,}=1\) となる

p.133 問題 6\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの正弦の値がわかれば、
\(~~~\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
この公式より、\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの余弦の値がわかる

また、\(0^\circ\) から \(45^\circ\) までの正弦と余弦の値より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\cos{\theta}\\[3pt]~~~\cos{\left(90^\circ-\theta\right)}&=&\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
この公式より、\(46^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値がわかる

また、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正弦と余弦の値より、
\(~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sin{\theta}\,}{\,\cos{\theta}\,}\)
この公式より、\(0^\circ\) から \(90^\circ\) までの正接の値がわかる

２節　三角比と座標

p.137 問1\(~~~\sin{135^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\cos{135^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)

\(~~~\tan{135^\circ}=-1\)

\(~~~\sin{150^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{150^\circ}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

\(~~~\tan{135^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)

p.139 問2\({\small (1)}~60^\circ~,~120^\circ\)　　\({\small (2)}~180^\circ\)

p.139 問3\(~~~60^\circ\)

p.140 問4\({\small (1)}~60^\circ\)　　\({\small (2)}~135^\circ\)

p.141 問5\(~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)

解法のPoint｜直線とのなす角とtanθ

p.141 問6\({\small (1)}~120^\circ\)　　\({\small (2)}~45^\circ\)

解法のPoint｜直線とのなす角とtanθ

p.143 問7\({\small (1)}~\)\(\theta\) が鋭角のとき、

\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

\(\theta\) が鈍角のとき、

\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

\({\small (2)}~\)
\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}~,~\tan{\theta}=-\sqrt{15}\)

p.143 問8\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{10}\,}{\,10\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,10\,}\)

p.144 問9\({\small (1)}~0.6428\)　　\({\small (2)}~-0.4695\)　　\({\small (3)}~-0.3057\)

解法のPoint｜180°-θの三角比の値

問題

p.145 問題 7　\(\theta=45°\) または \(\theta=135°\)

p.145 問題 8　\(\theta=75°\)

p.145 問題 9\({\small (1)}~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,7\,}\,}{\,7\,}\)

　または、

　　\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,7\,}\,}{\,7\,}\)

\({\small (2)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\)

p.145 問題 10[証明] \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\) であるので、

　（左辺）

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\,}{\,\sin^2 \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 \theta\,}\hspace{25pt}(\,∵~\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\,)\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan^2 \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2 \theta\,}\) [終]

p.145 問題 11\({\small (1)}~0.588\)　　\({\small (2)}~-0.809\)　　\({\small (3)}~-0.727\)
\({\small (4)}~0.809\)　　\({\small (5)}~-0.588\)

解法のPoint｜180°-θの三角比の値

解法のPoint｜90°+θの三角比の値

p.145 問題 12\({\small (1)}~\sin \alpha=\cos \beta~,~\cos \alpha=-\sin \beta\)
\({\small (2)}~\sin (90^\circ+\theta)=\cos \theta\)
　　\(\cos (90^\circ+\theta)=-\sin \theta\)

　　\(\tan (90^\circ+\theta)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\)

解法のPoint｜90°+θの三角比の値

３節　三角形への応用

p.147 問1\(~~~\sqrt{2}\)

p.149 問2\(~~~4\)

p.149 問3\(~~~4\sqrt{2}\)

p.149 問4\(~~~\displaystyle \frac{\,10\sqrt{6}\,}{\,3\,}\)

p.150 問5\(~~~3\sqrt{7}\)

p.152 問6\(~~~\sqrt{7}\)

p.152 問7\(~~~2\)

p.152 問8\(~~~{\rm C}=60^\circ\)

p.153 問9\({\small (1)}~\)鈍角
\({\small (2)}~\)鋭角

解法のPoint｜三角形の辺と角の関係

p.153 問10　\(\angle{\rm C}\) が鈍角の鈍角三角形

解法のPoint｜三角形の辺と角の関係

p.154 問11\(~~~b=2\sqrt{2}~,~{\rm A}=60^\circ~,~{\rm C}=75^\circ\)

p.155 発展問1\({\small (1)}~{\rm AC=BC}\) の二等辺三角形
\({\small (2)}~{\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
　または、\({\rm B}=90^\circ\) の直角三角形

p.156 問12\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~7\sqrt{2}\)

解法のPoint｜正弦を用いた三角形の面積

p.156 問13\(~~~14\sqrt{3}\)

p.157 問14\(~~~{\rm AD}=1~,~S=6\sqrt{3}\)

p.158 問15\(~~~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,3\,}\)

p.159 問16\(~~~3\sqrt{14}\)

p.160 問17\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,12\,}a^3\)

問題

p.161 問題 13\({\small (1)}~\sqrt{\,13\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,13\,}\,}{\,26\,}\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\)

p.161 問題 14\({\small (1)}~{C}=45°~,~S=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)

\({\small (2)}~{C}=30°~,~a=\sqrt{\,3\,}-1~,~S=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\,}\)

p.161 問題 15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~12-6\sqrt{\,3\,}\)

p.161 問題 16　\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)

解法のPoint｜正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角

p.161 問題 17\({\small (1)}~\)余弦定理で2つの角の大きさを求めて、三角形の内角の和より残りの角を求める。
\({\small (2)}~\)余弦定理で残りの1辺を求め、余弦定理でもう1つの角を求めて、三角形の内角の和より残りの角を求める。
\({\small (3)}~\)三角形の内角の和より残りの角を求め、正弦定理で残りの2辺を求める。

p.163 発展問1\(~~~10\sqrt{2}\)

解法のPoint｜3辺の長さと三角形の面積

練習問題　図形と計量

p.164 練習問題A 1頂点 \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に垂線 \({\rm AH}\) を下ろすと、

　\(a={\rm BH}+{\rm HC}\)

\(\triangle {\rm ABH}\) の \(\angle {\rm B}\) の余弦より、

　\({\rm BH}=c\cos {B}\)

\(\triangle {\rm ACH}\) の \(\angle {\rm C}\) の余弦より、

　\({\rm HC}=b\cos {C}\)

したがって、

\(\begin{eqnarray}~~~a&=&{\rm BH}+{\rm HC}\\[3pt]~~~&=&c\cos {B}+b\cos {C}\\[3pt]~~~&=&b\cos {C}+c\cos {B}\end{eqnarray}\)

p.164 練習問題A 2[証明] \(\angle {\rm A}\) と外接円の半径 \(R\) の正弦定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,a\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)

\(2\) 辺 \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) の三角形の面積 \(S\) より、

　\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)

\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\) を代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) となる [終]

p.164 練習問題A 3　\(3\)

p.164 練習問題A 4\({\small (1)}~{\rm BD}=\sqrt{\,37\,}~,~\cos \angle {\rm BAD}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)

\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,21\sqrt{\,11\,}\,}{\,4\,}\)

p.164 練習問題A 5\({\small (1)}~{\rm DP}=\sqrt{\,13\,}~,~{\rm PQ}=\sqrt{\,3\,}~,~{\rm QD}=2\sqrt{\,3\,}\)

\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,35\,}\,}{\,2\,}\)

p.164 練習問題A 6　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)

解法のPoint｜正弦の比と辺の比

p.165 練習問題B 7[証明] \({\rm AO}+{\rm OC}=l~,~\)\({\rm BO}+{\rm OD}=m\)

また、\(\angle {\rm AOB}=\theta\) より、

　\(\angle {\rm DOC}=\theta~,~\)\(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOC}=180^\circ-\theta\)

これより、この四角形が対角線によって分けられる \(4\) つの三角形の面積は、

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AO} \cdot {\rm BO} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OCD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OC} \cdot {\rm OD} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ODA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)

よって、この四角形の面積 \(S\) は、

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&{\rm \triangle OAB}+{\rm \triangle OBC}+{\rm \triangle OCD}+{\rm \triangle ODA}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AO} \cdot {\rm BO}+{\rm BO} \cdot {\rm OC}+{\rm OC} \cdot {\rm OD}+{\rm OD} \cdot {\rm OA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm BO}+({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm OD}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AO}+{\rm OC})({\rm BO}+{\rm OD})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\end{eqnarray}\)

※ 数式は横にスクロールできます。

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\) となる [終]

p.165 練習問題B 8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~60°\)

\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\)

p.165 練習問題B 9\({\small (1)}~x^2-2x-4=0~,~{\rm AB}=1+\sqrt{\,5\,}\)

\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,5\,}\,}{\,4\,}\)

p.165 練習問題B 10\({\small (1)}~18\sqrt{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\)