このページは「高校数学Ⅱ：式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】数学Ⅱ：式と証明
３次式の展開（数学Ⅰ）
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【解答】$${\small (1)}~27x^3-27x^2+9x-1$$$${\small (2)}~x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$$${\small (3)}~27x^3+8$$$${\small (4)}~8x^3-y^3$$
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３次式の因数分解（数学Ⅰ）
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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(4x^2-2x+1)$$$${\small (2)}~(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$$$${\small (3)}~3(x-2)(x^2+2x+4)$$
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６次式の因数分解
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【解答】$${\small (1)}~(x+2y)(x-2y)$$$$~~~~~~~~~~~~(x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)$$$${\small (2)}~(x-1)(x+3)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)$$
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二項定理
\({\small (1)}~\)\((a-2b)^5\) を展開せよ。
\({\small (2)}~\)\((3x-2y)^5\) を展開したときの \(x^2y^3\) の係数を求めよ。
\({\small (3)}~\)\((x^2-3y)^6\) を展開したときの \(x^8y^2\) の係数を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~a^5-10a^4b+40a^3b^2$$$$\hspace{60pt }-80a^2b^3+80ab^4-32b^5$$$${\small (2)}~-720~~~~~~{\small (3)}~135$$
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多項定理
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【解答】$${\small (1)}~540~~~~~~{\small (2)}~-1080$$
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二項定理の利用
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【解答】\({\small (1)}~\)[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1+1)^n=2^n$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot 1+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot 1^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot 1^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=-1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1-1)^n=0$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot (-1)$$$$\hspace{45pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot (-1)^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot (-1)^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$[終]
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整式の割り算
\({\small (1)}~\)\(x^3-8x-8\) を \(x^2-3x+1\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (2)}~\)\(x^3-6x^2y+10xy^2-8y^3\) を \(x^2-5xy+y^2\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (3)}~\)\(2x^3-7x^2+7x-4\) をある整式で割ったときの商が \(2x-1\)、余りが \(-2\) のとき、この整式を求めよ。
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【解答】
\({\small (1)}~\)商は \(x+3\)、余りは \(-11\)
\({\small (2)}~\)商は \(x-y\)、余りは \(4xy^2-7y^3\)
\({\small (3)}~\)\(B(x)=x^2-3x+2\)
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分数式の計算
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【解答】$${\small (1)}~\frac{4x}{y^2}~~~~~~{\small (2)}~\frac{y}{x}$$$${\small (3)}~\frac{x-7}{x-1}
$$$${\small (4)}~\frac{x-2}{x+1}$$
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通分を用いる分数式の計算
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【解答】$${\small (1)}~\frac{5}{(x-2)(x+3)}~~~~~~{\small (2)}~\frac{2}{x(x+2)}$$
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分母や分子に分数式を含む式
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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{x-1}~~~~~~{\small (2)}~-\frac{x}{y}$$
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恒等式
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【解答】$${\small (1)}~a=4~,~b=5$$$${\small (2)}~a=3~,~b=-9~,~c=-2$$$${\small (3)}~a=-6~,~b=3$$
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等式の証明
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【解答】\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
$$~=(x+y)(x^2+y^2)$$$$~=x^3+xy^2+yx^2+y^3$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
(右辺)
$$~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$$~=x^3+y^3+x^2y+xy^2$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
したがって、(左辺)＝(右辺)となることより、$$~~~(x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(右辺)
$$~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$$$~=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4$$$$~~~~~~~~-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5$$$$~=a^5-b^5$$
したがって、(左辺)＝(右辺)となることより、$$~~~a^5-b^5$$$$~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$[終]
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条件付き等式の証明
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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
条件 \(a+b+c=0\) より、$$~~~c=-a-b$$となります。
(左辺)$$~=a^2+ac$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+a(-a-b)$$$$~=a^2-a^2-ab$$$$~=-ab$$
(右辺)$$~=b^2+bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=b^2+b(-a-b)$$$$~=b^2-ab-b^2$$$$~=-ab$$
よって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~a^2+ac=b^2+bc$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明] (左辺)$$~=a^2+2b^2-c^2$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+2b^2-(-a-b)^2$$ここで、$$~~~~~~(-a-b)^2$$$$~=\{(-a)^2+2(-a)(-b)+(-b)^1$$$$~=a^2+ab+b^2$$これより、$$~=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)$$$$~=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2$$$$~=b^2-2ab$$
(右辺)$$~=-3ab-bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=-3ab-b(-a-b)$$$$~=-3ab+ab+b^2$$$$~=b^2-2ab$$
したがって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$[終]
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比例式と等式の証明
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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
(左辺)$$~=\frac{a+c}{b+d}$$ここに、\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb+kd}{b+d}$$$$~=\frac{k(b+d)}{b+d}$$$$~=k$$
(右辺)$$~=\frac{c}{d}$$ここに、\(c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kd}{d}$$$$~=k$$
よって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
(左辺)$$~=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{(kb)^2+(kd)^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2b^2+k^2d^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}$$$$~=k^2$$
(右辺)$$~=\frac{ac}{bd}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb\cdot kd}{bd}$$$$~=\frac{k^2bd}{bd}$$$$~=k^2$$
よって、(左辺)＝(右辺)となるので、$$~~~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$[終]
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不等式の証明①（条件付き）
\({\small (1)}~a>1~,~b>2\) のとき、$$~~~~~~ab+2>2a+b$$ \({\small (2)}~a>b~,~c>d\) のとき、$$~~~~~~ac+bd>ad+bc$$
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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ab+2)-(2a+b)$$$$~=ab+2-2a-b$$\(a\) について整理すると、$$~=(b-2)a-b+2$$$$~=(b-2)a-(b-2)$$$$~=(b-2)(a-1)$$$$~=(a-1)(b-2)$$ここで、問題文より \(a>1~,~b>2\) であることより、
\(a>1\) すなわち \(a-1>0\)
\(b>2\) すなわち \(b-2>0\)
したがって、\((a-1)(b-2)>0\) となります
よって、\((ab+2)-(2a+b)>0\) となるので$$~~~ab+2>2a+b$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ac+bd)-(ad+bc)$$$$~=ac+bd-ad-bc$$\(a\) について整理すると、$$~=ac-ad-bc+bd$$$$~=(c-d)a-b(c-d)$$$$~=(c-d)(a-b)$$$$~=(a-b)(c-d)$$ここで、問題文より \(a>b~,~c>d\) であることより、
\(a>b\) すなわち \(a-b>0\)
\(c>d\) すなわち \(c-d>0\)
したがって、\((a-b)(c-d)>0\) となります
よって、\((ac+bd)-(ad+bc)\) となるので$$~~~ac+bd>ad+bc$$[終]
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不等式の証明②（２次式）
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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(x^2+y^2)-2xy$$$$~=x^2-2xy+y^2$$因数分解すると、$$~=(x-y)^2$$\({\rm A}^2≧0\) となることより、$$~=(x-y)^2≧0~\cdots①$$よって、$$~~~(x^2+y^2)-2xy≧0$$ゆえに、$$~~~x^2+y^2≧2xy$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より$$~~~x-y=0$$すなわち \(x=y\) のときである
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$~=x^2+3xy+3y^2$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2+3yx+3y^2$$$$~=x^2+3yx+\left(\frac{3y}{2}\right)^2-\left(\frac{3y}{2}\right)^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+\frac{12}{4}y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2≧0~\cdots①$$よって、$$~~~x^2+3xy+3y^2≧0$$が成り立つ
また、等号が成立するのは、①の式より$$~~~x+\frac{3}{2}y=0$$ かつ$$~~~y=0$$\(y=0\) を \(x+{\Large\frac{3}{2}}y=0\) に代入すると、$$~~~x=0$$よって、\(x=y=0\) のときである[終]
\({\small (3)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~=(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)$$$$~=x^2-6xy+10y^2-4y+4$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2-6yx+10y^2-4y+4$$$$~=x^2-6yx+(-3y)^2-(-3y)^2$$$$\hspace{78pt}+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2-9y^2+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2+y^2-4y+4$$後半部分を \(y\) について因数分解すると、$$~=(x-3y)^2+(y-2)^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=(x-3y)^2+(y-2)2≧0~\cdots ①$$よって、$$~~~(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)≧0$$ゆえに、$$~~~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より、$$~~~x-3y=0$$ かつ$$~~~y-2=0$$\(y-2=0\) より、$$~~~y=2$$\(x-3y=0\) に代入して、$$~~~x=6$$よって、\(x=6~,~y=2\) のときである[終]
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不等式の証明③（平方根）
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【解答】
[証明]
\(5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧0~,~\sqrt{25a+9b}≧0\) より、
平方の差 (左辺)2－(右辺)2 を考えると、$$~~~~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2$$$$~=(5\sqrt{a})^2+2\cdot 5\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b}$$$$\hspace{50pt}+(3\sqrt{b})^2-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{a}\sqrt{b}+9b-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{ab}+9b-25a-9b$$$$~=30\sqrt{ab}$$ここで、平方根の性質 \(\sqrt{{\rm A}}≧0\) より$$~=30\sqrt{ab}≧0$$よって、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2≧0$$ゆえに、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2≧(\sqrt{25a+9b})^2$$が成り立つ
ここで、\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、$$~~~{\rm A}^2≧{\rm B}^2~\Leftrightarrow~{\rm A}≧{\rm B}$$したがって、$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$[終]
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不等式の証明④（絶対値）
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【解答】
[証明]
\(|a|+|b|≧0~,~|a+b|≧0\) より、平方の差を考えると、$$~~~~~~(|a|+|b|)^2-|a+b|^2$$右の部分の展開は絶対値の性質 \(|a+b|^2=(a+b)^2\) より、$$~=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a^2+2ab+b^2)$$また、\(|a|^2=a^2~,~|b|^2=b^2~,~|a||b|=|ab|\) より、$$~=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2$$$$~=2|ab|-2ab$$$$~=2(|ab|-ab)$$ここで、\(|{\rm A}|-{\rm A}≧0\) より$$~=2(|ab|-ab)≧0$$よって、$$~~~(|a|+|b|)^2-|a+b|^2≧0$$ゆえに、$$~~~(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2$$が成り立つ
ここで、\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、\({\rm A}^2≧{\rm B}^2~\Leftrightarrow~{\rm A}≧{\rm B}\) より$$~~~~~~|a|+|b|≧|a+b|$$したがって、$$~~~~~~|a+b|≦|a|+|b|$$[終]
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相加平均と相乗平均
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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
\(a>0\) のとき、\({\Large \frac{4}{a}}\) となる
相加平均と相乗平均の関係より、$$~~~a+\frac{4}{a}≧2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=2\sqrt{4}=4$$
よって、$$~~~a+\frac{4}{a}≧4$$が成り立つ
また、等号が成立するのは \(a={\Large \frac{4}{a}} \) のとき、$$~~~a=\frac{4}{a}$$$$~~~a^2=4$$\(a>0\) より、$$~~~a=2$$よって、\(a=2\) のときである[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$~=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right)$$展開すると、$$~=ab+a\cdot\frac{4}{a}+\frac{1}{b}\cdot b+\frac{1}{b}\cdot\frac{4}{a}$$$$~=ab+4+1+\frac{4}{ab}$$$$~=ab+\frac{4}{ab}+5$$
\(a>0~,~b>0\) より、\(ab>0~,~{\Large \frac{4}{ab}}>0\) となる
\(ab\) と \({\Large \frac{4}{ab}}\) について、相加平均と相乗平均の関係を用いると、$$~~~ab+\frac{4}{ab}≧2\sqrt{4\cdot\frac{4}{ab}}=2\sqrt{4}=4$$よって、$$~~~ab+\frac{4}{ab}≧4~\cdots①$$ここで、\(5 \) を両辺に加えると、$$~~~ab+\frac{4}{ab}+5≧4+5$$
ゆえに、\(\left(a+{\Large \frac{1}{b}}\right)\left(b+{\Large \frac{4}{a}}\right)≧9\) が成り立つ
また、等号が成立するのは①より、\(ab={\Large \frac{4}{ab}}\) のとき、$$~~~ab=\frac{4}{ab}$$$$~~~(ab)^2=4$$\(ab>0\) より、$$~~~ab=2$$よって、\(ab=2\) のときである[終]
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