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09｜どのようなkの値でも成り立つ等式
09
\((k+2)x+(k-1)y-4k+1=0\) が、\(k\) のどのような値に対しても成り立つとき、\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
\((k+2)x+(k-1)y-4k+1=0\) が、\(k\) のどのような値に対しても成り立つとき、\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
09 数学ⅡBC【解答】
\(x=1~,~y=3\)
【より詳しい解説】
この等式はどのような \( k \) の値でも成り立つので、\( k \) についての恒等式である
よって、\( k \) に着目して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(k+2)x+(k-1)y-4k+1&=&0
\\[3pt]~~~kx+2x+ky-y-4k+1&=&0
\\[3pt]~~~kx+ky-4k+2x-y+1&=&0
\\[3pt]~~~(x+y-4)k+(2x-y+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\( k \) についての恒等式より、係数と定数項が \( 0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x+y-4=0~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]2x-y+1=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\( {\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+y-4&=&0 \\~~
+\big{)}~~2x-y+1&=&0\\
\hline 3x-3&=&0
\\[3pt] 3x&=&3
\\[3pt] x&=&1\end{eqnarray}\)
\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y-4&=&0
\\[3pt]~~~y-3&=&0
\\[3pt]~~~y&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( x=1~,~y=3 \) となる
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