共通テスト数学ⅡBC｜式と証明の基本問題12問【PDF・解説つき】

03 数学ⅡBC【解答】

---

\({\small (1)}~\)\(2160\)
\({\small (2)}~\)\(-40\)
\({\small (3)}~\)\(210\)

---

---

---

【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\((3x-2y)^6\) の展開式の一般項は、

---

\(3x\) と \(-2y\) の指数の組合せが \(6-r:r\) で、係数が \({}_6\mathrm{C}_r\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6\mathrm{C}_r (3x)^{6-r} \cdot (-2y)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_6\mathrm{C}_r \cdot 3^{6-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{6-r} y^r\end{eqnarray}\)

---

\(x^2 y^4\) の係数は、\(r=4\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_6\mathrm{C}_4 \cdot 3^{6-4} \cdot (-2)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 3^2 \cdot 16
\\[5pt]~~~&=&15 \cdot 9 \cdot 16
\\[5pt]~~~&=&2160\end{eqnarray}\)

---

\({\small (2)}~\)\((2x^2-x)^5\) の展開式の一般項は、

---

\(2x^2\) と \(-x\) の指数の組合せが \(5-r:r\) で、係数が \({}_5\mathrm{C}_r\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2x^2)^{5-r} \cdot (-x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot (2 \cdot x^2)^{5-r} \cdot (-1 \cdot x)^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (x^2)^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-2r} \cdot x^r
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-2r+r}
\\[5pt]~~~&=&{}_5\mathrm{C}_r \cdot 2^{5-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{10-r}\end{eqnarray}\)

---

\(x^7\) の係数は \(10-r=7~\Leftrightarrow~r=3\) のときより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_5\mathrm{C}_3 \cdot 2^{5-3} \cdot (-1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} \cdot 2^2 \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 4 \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-40\end{eqnarray}\)

---

\({\small (3)}~\)\((x+y+z)^7=\left\{(x+y)+z\right\}^7\) より、\(x^2y^3z^2\) は \(z\) を含む項であるので、

---

\((x+y)\) と \(z\) の指数の組が \(5:2\) で、係数が \({}_7\mathrm{C}_2\) より、

---

　\({}_7\mathrm{C}_2(x+y)^5 \cdot z^2\)

---

次に、\((x+y)^5\) の展開式において、\(x^2y^3\) の項は、

---

\(x\) と \(y\) の指数の組が \(2:3\) で、係数が \({}_5\mathrm{C}_3\)

---

これより、\(x^2y^3z^2\) の係数は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_7\mathrm{C}_2{\, \small \times \,}{}_5\mathrm{C}_3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&21{\, \small \times \,}10
\\[5pt]~~~&=&210\end{eqnarray}\)

---

【別解】\((x+y+z)^7\) の展開式の \(x^2y^3z^2\) の係数は、\(x\) が2つ、\(y\) が3つ、\(z\) が2つであるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,2!\cdot 3!\cdot 2!\,}\cdot x^2\cdot y^3\cdot z^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\,}\cdot x^2y^3z^2
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 6\cdot 5\cdot x^2y^3z^2
\\[3pt]~~~&=&210~x^2y^3z^2\end{eqnarray}\)

---

したがって、係数は \(210\)