数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 10
10｜比例式と連比
10
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~(\neq 0)\) のとき、
\(a:b:c=\fbox{ア}:\fbox{イ}:\fbox{ウ}\) である。
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~(\neq 0)\) のとき、
\(a:b:c=\fbox{ア}:\fbox{イ}:\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
10 数学ⅡBC【解答】
\(a:b:c=2:1:3\)
【より詳しい解説】
比例式の値を \(k\) とおくと、
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,c+a\,}{\,5\,}=k~~~(k \neq 0)\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}a+b=3k~~~\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]b+c=4k~~~\cdots{\small [\,2\,]}\\[3pt]c+a=5k~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}+{\small [\,3\,]}\) の3式を足すと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&3k \\~~
b+c&=&4k \\~~
+\big{)}~~~c+a&=&5k\\
\hline 2a+2b+2c&=&12k
\\[3pt] 2(a+b+c)&=&12k
\\[3pt] a+b+c&=&6k~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b+c&=&6k \\~~
-\big{)}~~~a+b\hspace{16pt}&=&3k\\
\hline c&=&3k\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b+c&=&6k \\~~
-\big{)}~~~\hspace{16pt}b+c&=&4k\\
\hline a&=&2k\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b+c&=&6k \\~~
-\big{)}~~~a\hspace{16pt}+c&=&5k\\
\hline b&=&k\end{eqnarray}\)
よって、\(k \neq 0\) より、各項を \(k\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~a:b:c&=&2k:k:3k
\\[3pt]~~~&=&2:1:3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a:b:c=2:1:3\) となる
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