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07｜恒等式となる等式の条件
07
\(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) についての恒等式であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}~,~\)\(c=\fbox{ウ}\) である。
\(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) についての恒等式であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}~,~\)\(c=\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
07 数学ⅡBC【解答】
\(a=2~,~b=3~,~c=2\)
【より詳しい解説】
右辺を \(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a(x-1)^2+b(x-1)+c
\\[3pt]~~~&=&a(x^2-2x+1)+bx-b+c
\\[3pt]~~~&=&ax^2-2ax+a+bx-b+c
\\[3pt]~~~&=&ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)\end{eqnarray}\)
\(x\) についての恒等式より、左辺 \(2x^2-x+1\) の係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}a=2~~~\hspace{37pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]-2a+b=-1~~~\cdots{\small [\,2\,]}\\[3pt]a-b+c=1~~~\hspace{5pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2\cdot 2+b&=&-1
\\[3pt]~~~-4+b&=&-1
\\[3pt]~~~b&=&-1+4
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(a=2~,~b=3\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2-3+c&=&1
\\[3pt]~~~-1+c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&1+1
\\[3pt]~~~c&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=2~,~b=3~,~c=2\) となる
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