数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 12
12｜相加平均と相乗平均の関係と最小値
12
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) を展開すると、
ここで、相加平均と相乗平均の関係より、
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}=\fbox{イ}\)
よって、最小値は \(\fbox{ウ}\) であり、そのとき \(a=\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) を展開すると、
\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)=a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+\fbox{ア}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、相加平均と相乗平均の関係より、
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}=\fbox{イ}\)
よって、最小値は \(\fbox{ウ}\) であり、そのとき \(a=\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
12 数学ⅡBC【解答】
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5\)
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}4\)
最小値 \(9\)、\(a=\sqrt{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
展開して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&a^2+a \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+4+1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) より、
\(a^2 \gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) の両辺に \(5\) を加えると、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5&{\small ~≧~}&4+5
\\[5pt]~~~\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)&{\small ~≧~}&9\end{eqnarray}\)
また、等号が成り立つのは \({\small [\,2\,]}\) の等号が成り立つときなので、
\(a^2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}~\Leftrightarrow ~a^4=4\)
\(a^2 \gt 0\) より、\(a^2=2\)
\(a \gt 0\) より、\(a=\sqrt{\,2\,}\)
したがって、\(a=\sqrt{\,2\,}\) のとき、最小値 \(9\) をとる
しかし、この2つを同時に最小にする \(a\) は存在しないので、最小値を \(2{\, \small \times \,}4=8\) としてはいけない。
このような場合は、展開してから相加平均と相乗平均の関係を用いる。
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5\)
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}4\)
最小値 \(9\)、\(a=\sqrt{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
展開して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&a^2+a \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,} \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+4+1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0\) より、
\(a^2 \gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) の両辺に \(5\) を加えると、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5&{\small ~≧~}&4+5
\\[5pt]~~~\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)&{\small ~≧~}&9\end{eqnarray}\)
また、等号が成り立つのは \({\small [\,2\,]}\) の等号が成り立つときなので、
\(a^2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}~\Leftrightarrow ~a^4=4\)
\(a^2 \gt 0\) より、\(a^2=2\)
\(a \gt 0\) より、\(a=\sqrt{\,2\,}\)
したがって、\(a=\sqrt{\,2\,}\) のとき、最小値 \(9\) をとる
【注意】
\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\) は \(a=1\) で最小値 \(2\)、\(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\) は \(a=2\) で最小値 \(4\) をとる。
しかし、この2つを同時に最小にする \(a\) は存在しないので、最小値を \(2{\, \small \times \,}4=8\) としてはいけない。
このような場合は、展開してから相加平均と相乗平均の関係を用いる。
式と証明｜問題一覧はこちら→
