数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 05
05｜商と余りと割る多項式
05
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \({\rm A}\) を整式 \(x-1\) で割ると、商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) であるとき、\({\rm A}=x^3-\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(3x^3+7x^2-x+16\) を整式 \({\rm B}\) で割ると、商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) であるとき、\({\rm B}=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オ}\,x+\fbox{カ}\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \({\rm A}\) を整式 \(x-1\) で割ると、商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) であるとき、\({\rm A}=x^3-\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(3x^3+7x^2-x+16\) を整式 \({\rm B}\) で割ると、商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) であるとき、\({\rm B}=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オ}\,x+\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
05 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm A}=x^3-4x^2+9x+1\)
\({\small (2)}~\)\({\rm B}=3x^2-2x+4\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\({\rm A}\) を \(x-1\) で割った商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm A}&=&(x-1)\cdot(x^2-3x+6)+7
\\[3pt]~~~&=&x^3-3x^2+6x-x^2+3x-6+7
\\[3pt]~~~&=&x^3-4x^2+9x+1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm A}=x^3-4x^2+9x+1\) となる
\({\small (2)}~\)\(3x^3+7x^2-x+16\) を \({\rm B}\) で割った商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x^3+7x^2-x+16&=&{\rm B}(x+3)+x+4
\\[3pt]~~~3x^3+7x^2-x+16-x-4&=&{\rm B}(x+3)
\\[3pt]~~~3x^3+7x^2-2x+12&=&{\rm B}(x+3)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3x^3+7x^2-x+16-x-4&=&{\rm B}(x+3)
\\[3pt]~~~3x^3+7x^2-2x+12&=&{\rm B}(x+3)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(3x^3+7x^2-2x+12\) を \((x+3)\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}3x^2-2x+4\hspace{30pt}\\x+3~)~\overline{3x^3+7x^2-2x+12}\\[3pt]\underline{-~)~3x^3+9x^2\phantom{-2x+12}}\\[3pt]-2x^2-2x+12\\[3pt]\underline{-~)~-2x^2-6x\phantom{+12}}\\[3pt]4x+12\\[3pt]\underline{-~)~4x+12}\\[3pt]0\end{array}\)
この割り算の商が \({\rm B}\) となるので、
\({\rm B}=3x^2-2x+4\)
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